A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de
por
; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque
por
e
por
nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma identidade algébrica que relaciona potências de
e
. Nosso objetivo é usar essa identidade para provar a fórmula da derivada de
, que é
. Para isso, vamos precisar entender a identidade fornecida e como fazer substituições nela.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
e
por
na identidade original. A identidade dada é:
Fazendo as substituições, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos interpretar
como a derivada de
em relação a alguma variável, digamos
. Ou seja,
. Nesse contexto, a expressão
representa a derivada de
.
Passo 4
Sabemos que, na definição de derivada, temos:
Comparando com a identidade que obtivemos após a substituição, percebemos que:
Isso porque, ao expandir a expressão e simplificar, todos os termos além de
desaparecem no limite quando
tende a zero.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.
Exercícios relacionados
Demonstre que
e
.