A identidade algébrica
x^n - a^n = (x - a)(x^(n-1) + x^(n-2)a + x^(n-3)a^2 + ... + a^(n-1))
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de x^n - a^n por x - a; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque x por x' e a por x nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula (x^n)' = n x^(n-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma identidade algébrica que relaciona potências de e . Nosso objetivo é usar essa identidade para provar a fórmula da derivada de , que é . Para isso, vamos precisar entender a identidade fornecida e como fazer substituições nela.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por e por na identidade original. A identidade dada é:
Fazendo as substituições, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos interpretar como a derivada de em relação a alguma variável, digamos . Ou seja, . Nesse contexto, a expressão representa a derivada de .

Passo 4

Sabemos que, na definição de derivada, temos:
Comparando com a identidade que obtivemos após a substituição, percebemos que:
Isso porque, ao expandir a expressão e simplificar, todos os termos além de desaparecem no limite quando tende a zero.

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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