Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular as derivadas de uma função, dizer onde elas existem e justificar os resultados. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da função:
. Para derivar isso, a gente precisa usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é o cosseno e a interna é
.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar o segundo termo da função:
. Para isso, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é
.
Aplicando essa regra:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada completa da função original:
Passo 5
Vamos verificar onde essa derivada existe. A função
é composta por funções polinomiais e trigonométricas, que são deriváveis em todo o domínio dos números reais. Ou seja, a derivada existe para todo
.
Resposta
A derivada da função é
e ela existe para todo número real
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função abaixo é derivável.
A função
satisfaz a equação:
. Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de
.
Demonstre que se
para todo
no intervalo
então existem
e
reais tais que
. Sugestão: aplique o Teorema de Taylor no intervalo
.
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: