Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular as derivadas de uma função, dizer onde elas existem e justificar os resultados. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da função: . Para derivar isso, a gente precisa usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é o cosseno e a interna é .
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo da função: . Para isso, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de é .
Aplicando essa regra:

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada completa da função original:

Passo 5

Vamos verificar onde essa derivada existe. A função é composta por funções polinomiais e trigonométricas, que são deriváveis em todo o domínio dos números reais. Ou seja, a derivada existe para todo .

Resposta

A derivada da função é e ela existe para todo número real .

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Mostre que a função abaixo é derivável.
A função satisfaz a equação: . Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de .
Demonstre que se para todo no intervalo então existem e reais tais que . Sugestão: aplique o Teorema de Taylor no intervalo .
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: