Mostre que a função abaixo é derivável.
-2 cos(x^2) * 2 x / 4
f(x) = { cos(x) se x <= 0, (x^2)/2 + 1 se x > 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função dada é derivável. A função é definida de forma diferente para valores de menores ou iguais a 0 e para maiores que 0. Vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 0 por valores menores que 0 deve ser igual ao limite quando se aproxima por valores maiores que 0, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):

Passo 5

Agora, o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):

Passo 6

Como ambos os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em 0, a função é contínua em .

Passo 7

Agora, para que a função seja derivável em , as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita.

Passo 8

Derivada pela esquerda ( ):
Então,

Passo 9

Derivada pela direita ( ):
Então,

Passo 10

Como , as derivadas laterais são iguais.

Resposta

Portanto, a função é derivável em .

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