Mostre que a função abaixo é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função dada é derivável. A função é definida de forma diferente para valores de
menores ou iguais a 0 e para
maiores que 0. Vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 0 por valores menores que 0 deve ser igual ao limite quando se aproxima por valores maiores que 0, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Passo 5
Agora, o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Passo 6
Como ambos os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em 0, a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, para que a função seja derivável em
, as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita.
Passo 8
Derivada pela esquerda (
):
Então,
Passo 9
Derivada pela direita (
):
Então,
Passo 10
Como
, as derivadas laterais são iguais.
Resposta
Portanto, a função
é derivável em
.
Exercícios relacionados
A função
satisfaz a equação:
. Usando técnicas de funções implícitas verifique que esta equação define uma única função e calcule o valor de
.
Esboce o gráfico da seguinte função. Apresente o máximo de informação (limites, assíntotas, extremos, etc).
0
Para as funções abaixo calcule as derivadas, indique onde elas existem e justifique seus resultados.
Demonstre que se
para todo
no intervalo
então existem
e
reais tais que
. Sugestão: aplique o Teorema de Taylor no intervalo
.
$\left(\begin{array}{l}in? \ \text { in
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