Mostre que a função abaixo é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função dada é derivável. A função é definida de forma diferente para valores de
menores ou iguais a 0 e para
maiores que 0. Vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 0 por valores menores que 0 deve ser igual ao limite quando se aproxima por valores maiores que 0, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Passo 5
Agora, o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Passo 6
Como ambos os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em 0, a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, para que a função seja derivável em
, as derivadas laterais devem existir e ser iguais. Vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita.
Passo 8
Derivada pela esquerda (
):
Então,
Passo 9
Derivada pela direita (
):
Então,
Passo 10
Como
, as derivadas laterais são iguais.
Resposta
Portanto, a função
é derivável em
.