Demonstre que o fator de empacotamento para a estrutura cfc é 0.74

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que o fator de empacotamento (também conhecido como packing factor) para a estrutura CFC é 0,74. Isso está relacionado à cristalografia, especificamente à forma como os átomos estão organizados em uma célula unitária de uma estrutura cúbica de face centrada (CFC). Para resolver isso, vamos precisar entender quantos átomos estão em uma célula unitária CFC e calcular o volume ocupado por esses átomos em relação ao volume total da célula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma célula unitária CFC. Em uma estrutura cúbica de face centrada, os átomos estão localizados nos vértices do cubo e no centro de cada uma das faces.

Passo 3

Vamos calcular quantos átomos estão efetivamente dentro de uma célula unitária CFC. Cada átomo nos vértices é compartilhado por 8 células unitárias diferentes, então cada átomo de vértice contribui com 8 times 18 = 1 átomo dos vértices de um átomo para a célula. Há 8 vértices, então:
6 times 12 = 3 átomos das faces áé
Além disso, cada átomo nas faces é compartilhado por 2 células unitárias, então cada átomo de face contribui com 1 + 3 = 4 átomos de um átomo para a célula. Como há 6 faces:
á
Então, no total, uma célula unitária CFC contém:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula unitária. Assumindo que os átomos são esferas tocando umas às outras, o raio de cada átomo está relacionado ao parâmetro de rede raiz2 times a = 4r implies r = raiz2 times a4 da célula unitária. Para a estrutura CFC, a diagonal da face do cubo é igual a quatro vezes o raio dos átomos:
Vátomo = 43 pi r^3
O volume de um átomo (esfera) é dado por:
Vátomo = 43 pi ( raiz2 times a4 )^3 = 43 pi ( 2raiz2 a^364 ) = raiz2 pi a^324 á
Substituindo Vátomos = 4 times raiz2 pi a^324 = raiz2 pi a^36 :
á
Como temos 4 átomos na célula, o volume total ocupado pelos átomos é:
á

Passo 5

O volume da célula unitária cúbica é simplesmente:
Vcélula = a^3 é

Passo 6

O fator de empacotamento PF = VátomosVcélula = raiz2 pi a^36a^3 = raiz2 pi6 é a razão entre o volume ocupado pelos átomos e o volume total da célula:
PF approx 1,4142 times 3,14166 approx 4,44296 approx 0,7405 áé
Calculando numéricamente:

Resposta

O fator de empacotamento para a estrutura CFC é aproximadamente 0,74.

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