Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar a fórmula binomial usando a série de Taylor. Isso significa que vamos usar os conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de funções, para chegar na fórmula que expande potências de binômios. Para isso, vamos precisar entender o que é a fórmula binomial e como a série de Taylor funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula binomial. Ela nos permite expandir uma expressão do tipo em uma soma de termos envolvendo combinações. A fórmula é:
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula combinações de elementos tomados de cada vez.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 4

Vamos aplicar a série de Taylor para expandir a função em torno de . Assim, temos:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas de avaliadas em 0.

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • A primeira derivada:
  • A segunda derivada:
  • E assim por diante, até a -ésima derivada:
Avaliada em :
Isso pode ser simplificado usando o fatorial:

Passo 6

Substituindo na série de Taylor:
Aqui, usamos a definição de coeficiente binomial .
Como é um inteiro não negativo, a série termina em , pois para , .

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
No intervalo de valores qual o grau mínimo do polinômio de Taylor , com centro em , se deve usar para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?
Use a série binomial para .
Encontre o raio de convergência da série e, em seguida, estude os extremos do intervalo de convergência. Por fim, faça um diagrama com a reta numérica, indicando as intevalos e pontos em que a série converge absolutamente, ou converge condicionalmente, ou diverge: