Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar a fórmula binomial usando a série de Taylor. Isso significa que vamos usar os conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de funções, para chegar na fórmula que expande potências de binômios. Para isso, vamos precisar entender o que é a fórmula binomial e como a série de Taylor funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula binomial. Ela nos permite expandir uma expressão do tipo
em uma soma de termos envolvendo combinações. A fórmula é:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula combinações de
elementos tomados
de cada vez.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Vamos aplicar a série de Taylor para expandir a função
em torno de
. Assim, temos:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas de
avaliadas em 0.
Passo 5
Calculando as derivadas:
- A primeira derivada:
- A segunda derivada:
- E assim por diante, até a
-ésima derivada:
Avaliada em
:
Isso pode ser simplificado usando o fatorial:
Passo 6
Substituindo na série de Taylor:
Aqui, usamos a definição de coeficiente binomial
.
Como
é um inteiro não negativo, a série termina em
, pois para
,
.