Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função centrada em . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, que basicamente ajudam a expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo derivadas da função no ponto escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função centrada em :
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
  1. Primeira derivada:
    Avaliada em :
  2. Segunda derivada:
    Avaliada em :
  3. Terceira derivada:
    Avaliada em :
Podemos notar um padrão: a -ésima derivada avaliada em 1 é .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Como vimos que , a fórmula fica:

Passo 5

Simplificando a série, temos uma série geométrica:
Mas atenção! A função original é , então precisamos ajustar a série para que ela represente corretamente a função.
Na verdade, houve um erro nos passos anteriores. Vamos reavaliar:
Considerando a função , podemos reescrever , então:

Passo 6

Portanto, a série de Taylor de centrada em é:

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

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No intervalo de valores qual o grau mínimo do polinômio de Taylor , com centro em , se deve usar para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?
Use a série binomial para .
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Use a série binomial para .