Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, que basicamente ajudam a expressar funções como somas infinitas de termos envolvendo derivadas da função no ponto escolhido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
-
Primeira derivada:Avaliada em
: -
Segunda derivada:Avaliada em
: -
Terceira derivada:Avaliada em
:
Podemos notar um padrão: a
-ésima derivada avaliada em 1 é
.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Como vimos que
, a fórmula fica:
Passo 5
Simplificando a série, temos uma série geométrica:
Mas atenção! A função original é
, então precisamos ajustar a série para que ela represente corretamente a função.
Na verdade, houve um erro nos passos anteriores. Vamos reavaliar:
Considerando a função
, podemos reescrever
, então:
Passo 6
Portanto, a série de Taylor de
centrada em
é:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
No intervalo de valores
qual o grau mínimo do polinômio de Taylor
, com centro em
, se deve usar para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?
Use a série binomial para
.
Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.
Use a série binomial para
.