Encontre o raio de convergência da série e, em seguida, estude os extremos do intervalo de convergência. Por fim, faça um diagrama com a reta numérica, indicando as intevalos e pontos em que a série converge absolutamente, ou converge condicionalmente, ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma série infinita da forma
. O conteúdo principal aqui é séries de potências, e para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o raio de convergência e analisar os extremos do intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos. A série
é uma série geométrica, onde cada termo é da forma
e
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica
converge se
e diverge se
. Então, para encontrar o intervalo de convergência, precisamos resolver a desigualdade
.
Passo 4
Vamos resolver
. Isso significa que:
Vamos resolver essa desigualdade em duas partes.
Passo 5
Primeiro, resolvemos
:
Passo 6
Agora, resolvemos
:
Passo 7
Então, combinando as duas partes, temos que a série converge quando:
Isso nos dá o intervalo de convergência sem considerar os extremos.
Passo 8
Para encontrar o raio de convergência
, usamos a metade do comprimento do intervalo de convergência:
Passo 9
Agora, vamos estudar os extremos do intervalo:
e
.
Passo 10
Para
, substituímos na série:
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
Passo 11
Para
, substituímos na série:
Essa série também diverge, pois está somando 1 infinitamente.
Passo 12
Com isso, o intervalo de convergência é aberto em ambos os extremos, ou seja,
, e o raio de convergência é
.
Passo 13
Agora, vamos fazer um diagrama na reta numérica:
- Converge absolutamente:
- Diverge:
e
Resposta
O raio de convergência é
. A série converge absolutamente para
e diverge para
e
.
Diagrama na Reta Numérica
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ln3 ln5
- A parte entre ln3 e ln5 indica onde a série converge absolutamente.
- As regiões além de ln3 e ln5 indicam onde a série diverge.
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.
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.