Encontre o raio de convergência da série e, em seguida, estude os extremos do intervalo de convergência. Por fim, faça um diagrama com a reta numérica, indicando as intevalos e pontos em que a série converge absolutamente, ou converge condicionalmente, ou diverge:
sumk=0^infty(e^x-4)^k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma série infinita da forma . O conteúdo principal aqui é séries de potências, e para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o raio de convergência e analisar os extremos do intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos. A série é uma série geométrica, onde cada termo é da forma e .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se . Então, para encontrar o intervalo de convergência, precisamos resolver a desigualdade .

Passo 4

Vamos resolver -1 < e^x - 4 < 1 . Isso significa que:
Vamos resolver essa desigualdade em duas partes.

Passo 5

Primeiro, resolvemos e^x < 5 x < ln5 :

Passo 6

Agora, resolvemos e^x > 3 x > ln3 :

Passo 7

Então, combinando as duas partes, temos que a série converge quando:
ln3 < x < ln5
Isso nos dá o intervalo de convergência sem considerar os extremos.

Passo 8

Para encontrar o raio de convergência R = ln5 - ln32 , usamos a metade do comprimento do intervalo de convergência:

Passo 9

Agora, vamos estudar os extremos do intervalo: e .

Passo 10

Para sumk=0^infty(e^ln3 - 4)^k = sumk=0^infty(3 - 4)^k = sumk=0^infty(-1)^k , substituímos na série:
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.

Passo 11

Para sumk=0^infty(e^ln5 - 4)^k = sumk=0^infty(5 - 4)^k = sumk=0^infty1^k , substituímos na série:
Essa série também diverge, pois está somando 1 infinitamente.

Passo 12

Com isso, o intervalo de convergência é aberto em ambos os extremos, ou seja, , e o raio de convergência é .

Passo 13

Agora, vamos fazer um diagrama na reta numérica:
  • Converge absolutamente:
  • Diverge: e

Resposta

O raio de convergência é . A série converge absolutamente para e diverge para e .

Diagrama na Reta Numérica

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   ln3     ln5
  • A parte entre ln3 e ln5 indica onde a série converge absolutamente.
  • As regiões além de ln3 e ln5 indicam onde a série diverge.

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