Use a série binomial para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a série binomial para a função . Isso se encaixa na matéria de séries de potências, que nos ajuda a expandir funções em uma soma infinita de termos. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da série binomial e aplicá-la com os valores certos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série binomial. Ela serve para expandir expressões do tipo onde pode ser qualquer número real. A fórmula é:
Essa série funciona quando .

Passo 3

Agora, vamos comparar com a função que queremos expandir: . Podemos reescrever isso como . Ou seja, aqui .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula da série binomial:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um dos termos:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Então,
4. Quarto termo:
Então,
E assim por diante para os termos seguintes.

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:

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Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.
Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
Encontre o raio de convergência da série e, em seguida, estude os extremos do intervalo de convergência. Por fim, faça um diagrama com a reta numérica, indicando as intevalos e pontos em que a série converge absolutamente, ou converge condicionalmente, ou diverge:
Escreva os 5 primeiros termos para a série do e em qual intervalo ela converge?