Use a série binomial para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a série binomial para a função
. Isso se encaixa na matéria de séries de potências, que nos ajuda a expandir funções em uma soma infinita de termos. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da série binomial e aplicá-la com os valores certos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série binomial. Ela serve para expandir expressões do tipo
onde
pode ser qualquer número real. A fórmula é:
Essa série funciona quando
.
Passo 3
Agora, vamos comparar com a função que queremos expandir:
. Podemos reescrever isso como
. Ou seja, aqui
.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula da série binomial:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada um dos termos:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então,
4. Quarto termo:
4. Quarto termo:
Então,
E assim por diante para os termos seguintes.
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é:
Exercícios relacionados
Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Encontre o raio de convergência da série e, em seguida, estude os extremos do intervalo de convergência. Por fim, faça um diagrama com a reta numérica, indicando as intevalos e pontos em que a série converge absolutamente, ou converge condicionalmente, ou diverge:
Escreva os 5 primeiros termos para a série do
e em qual intervalo ela converge?