No intervalo de valores
qual o grau mínimo do polinômio de Taylor
, com centro em
, se deve usar para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrarmos o grau mínimo do polinômio de Taylor
para aproximar a função
no intervalo
, garantindo que o erro da aproximação seja menor que
. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e entender como estimar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que o polinômio de Taylor de grau
para
será a soma dos primeiros
termos dessa série.
Passo 3
Para garantir que o erro da aproximação seja menor que
, usamos o Resto de Lagrange. O resto
após
termos é dado por:
Onde:
-
é um valor máximo da derivada de ordem de no intervalo considerado. - Para
, as derivadas são limitadas por 1, então podemos simplificar .
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o menor
tal que:
Vamos resolver essa desigualdade testando valores de
até que a condição seja satisfeita.
Passo 5
Vamos testar passo a passo:
-
Para
: Erro:→ Não atende. -
Para
: Erro:→ Ainda não atende. -
Para
: Erro:→ Atende!
Resposta
O grau mínimo do polinômio de Taylor necessário para aproximar
no intervalo
com erro limitado a
é 10.
Exercícios relacionados
Use a série binomial para
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.