No intervalo de valores |x| < pi/4 qual o grau mínimo do polinômio de Taylor Pn(x), com centro em x0 = 0, se deve usar para aproximar o cos(x), comentendo um erro limitado a epsilon < 10^(-8)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrarmos o grau mínimo do polinômio de Taylor para aproximar a função no intervalo , garantindo que o erro da aproximação seja menor que . Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e entender como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para centrada em (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que o polinômio de Taylor de grau para será a soma dos primeiros termos dessa série.

Passo 3

Para garantir que o erro da aproximação seja menor que , usamos o Resto de Lagrange. O resto após termos é dado por:
Onde:
  • é um valor máximo da derivada de ordem de no intervalo considerado.
  • Para , as derivadas são limitadas por 1, então podemos simplificar .

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o menor tal que:
Vamos resolver essa desigualdade testando valores de até que a condição seja satisfeita.

Passo 5

Vamos testar passo a passo:
  • Para :
    Erro: → Não atende.
  • Para :
    Erro: → Ainda não atende.
  • Para :
    Erro: → Atende!

Resposta

O grau mínimo do polinômio de Taylor necessário para aproximar no intervalo com erro limitado a é 10.

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