No intervalo de valores qual o grau mínimo do polinômio de Taylor , com centro em , se deve usar para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para encontrarmos o grau mínimo do polinômio de Taylor para aproximar a função no intervalo , garantindo que o erro da aproximação seja menor que . Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e entender como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para centrada em (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que o polinômio de Taylor de grau para será a soma dos primeiros termos dessa série.

Passo 3

Para garantir que o erro da aproximação seja menor que , usamos o Resto de Lagrange. O resto após termos é dado por:
Onde:
  • é um valor máximo da derivada de ordem de no intervalo considerado.
  • Para , as derivadas são limitadas por 1, então podemos simplificar .

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o menor tal que:
Vamos resolver essa desigualdade testando valores de até que a condição seja satisfeita.

Passo 5

Vamos testar passo a passo:
  • Para :
    Erro: → Não atende.
  • Para :
    Erro: → Ainda não atende.
  • Para :
    Erro: → Atende!

Resposta

O grau mínimo do polinômio de Taylor necessário para aproximar no intervalo com erro limitado a é 10.

Exercícios relacionados

Use a série binomial para .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.
Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.
Demonstre a fórmula binomial usando a série de Taylor.