_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(d)

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades das funções ímpares e conhecimentos básicos de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é dita ímpar se para todo . A função é uma função ímpar, pois .

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, ou seja, de a , é igual a zero. Matemáticamente, isso é expresso por:
í

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa integral, temos:
Isso ocorre porque é uma função ímpar e estamos integrando-a sobre um intervalo simétrico .

Resposta

A integral é igual a 0.

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14.
Demonstre a fórmula, onde e são inteiros positivos.
Se é a receita proveniente da venda de ítens, é o custo da produção de ítens e é o lucro sobre a venda de ítens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nível de produção ( ítens) são dados, respectivamente por . Suponha que , em que representa milhares de unidades. Há um nível de produção que maximize o lucro? Se houver, qual é? Há um nível de produção que minimize o custo?
Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela expressão , sendo a altura atingida, em metros e em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máxima do solo?