_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
14. integral t sin (2 t) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral t sin(2t) , dt. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções diferentes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos identificar quais partes da nossa integral serão escolhidas como u e dv.

Passo 3

Escolhemos:
u = t e dv = sin(2t) , dt
Agora, vamos calcular du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
du = dt
v = integral sin(2t) , dt = -12 cos(2t)

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t sin(2t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= t (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) , dt

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -t2 cos(2t) + 12 integral cos(2t) , dt
Agora, precisamos resolver a integral restante.

Passo 7

Calculando a integral integral cos(2t) , dt:
integral cos(2t) , dt = 12 sin(2t)

Passo 8

Substituindo de volta na expressão principal:
= -t2 cos(2t) + 12 cdot 12 sin(2t) + C
Simplificando:
= -t2 cos(2t) + 14 sin(2t) + C

Resposta

A integral integral t sin(2t) , dt é igual a:
-t2 cos(2t) + 14 sin(2t) + C

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