Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para demonstrar que:
Estamos lidando com integrais de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Aqui, vamos considerar
e
. Isso vai nos ajudar a simplificar o produto de
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade, temos:
Agora, a integral original fica:
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes:
Agora, precisamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Lembrando que a integral de
de
a
é:
Isso ocorre porque, para
, a função
é simétrica e se cancela ao integrar sobre um período completo. Se
,
, então a integral é apenas a área do intervalo.
Passo 6
Vamos aplicar isso às nossas integrais:
- Para
, . Como e são inteiros positivos, , então:
- Para
, temos duas possibilidades:
- Se
, então , e a integral é 0. - Se
, então , e a integral é .
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
- Se
:
- Se
:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Prove (utilizando a definição de limite) que
. Se convença de que o valor de
depende do
dado.
Calcule, caso exista.
h)
h)
Calcule os limites
f)
f)
Determine:
d)
d)