Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para demonstrar que:
Estamos lidando com integrais de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Aqui, vamos considerar e . Isso vai nos ajudar a simplificar o produto de e .

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
Agora, a integral original fica:

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
Agora, precisamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Lembrando que a integral de de a é:
Isso ocorre porque, para , a função é simétrica e se cancela ao integrar sobre um período completo. Se , , então a integral é apenas a área do intervalo.

Passo 6

Vamos aplicar isso às nossas integrais:
  1. Para , . Como e são inteiros positivos, , então:
  1. Para , temos duas possibilidades:
  • Se , então , e a integral é 0.
  • Se , então , e a integral é .

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
  • Se :
  • Se :

Resposta

Portanto,

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Prove (utilizando a definição de limite) que . Se convença de que o valor de depende do dado.
Calcule, caso exista.
h)
Calcule os limites
f)
Determine:
d)