Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
integral-pi^pi cos (m x) cos (n x) d x= 0 & se m neq n pi & se m=n
Dica: use as identidades
sin a cos b & =12[sin (a+b)+sin (a-b)] cos a cos b & =12[cos (a+b)+cos (a-b)] sin a sin b & =12[cos (a-b)-cos (a+b)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para demonstrar que:
integral-pi^pi cos (m x) cos (n x) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n
Estamos lidando com integrais de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
cos a cos b = 12 [cos(a + b) + cos(a - b)]
Aqui, vamos considerar e . Isso vai nos ajudar a simplificar o produto de e .

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
cos(m x) cos(n x) = 12 [cos((m + n)x) + cos((m - n)x)]
Agora, a integral original fica:
integral-pi^pi cos(m x) cos(n x) , dx = 12 integral-pi^pi [cos((m + n)x) + cos((m - n)x)] , dx

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
12 ( integral-pi^pi cos((m + n)x) , dx + integral-pi^pi cos((m - n)x) , dx )
Agora, precisamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Lembrando que a integral de integral-pi^pi cos(kx) , dx = 0 & se k neq 0 2pi & se k = 0 de a é:
Isso ocorre porque, para , a função é simétrica e se cancela ao integrar sobre um período completo. Se , , então a integral é apenas a área do intervalo.

Passo 6

Vamos aplicar isso às nossas integrais:
  1. Para integral-pi^pi cos((m + n)x) , dx = 0 , . Como e são inteiros positivos, , então:
  1. Para , temos duas possibilidades:
  • Se , então , e a integral é 0.
  • Se , então , e a integral é .

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
12 ( 0 + 0 & se m neq n 2pi & se m = n )
Simplificando:
  • Se 12 (0 + 0) = 0 :
12 (0 + 2pi) = pi
  • Se :

Resposta

Portanto,
integral-pi^pi cos (m x) cos (n x) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n

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