Determine:
d) lim x 0(1+a x)^bx

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com uma função exponencial onde a base e o expoente dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limites envolvendo exponenciais e logaritmos, além da regra de l’Hôpital para lidar com formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite utilizando logaritmos para facilitar a manipulação. Sabemos que lim x 0(1+a x)^bx = e^limx to 0 bx cdot ln(1 + a x) . Então, aplicando isso ao nosso limite:

Passo 3

Agora, vamos focar no limite dentro do expoente:
limx to 0 bx cdot ln(1 + a x)
Isso pode ser reescrito como:
b cdot limx to 0 ln(1 + a x)x

Passo 4

Para resolver limx to 0 a1 + a x1 = a1 + 0 = a , podemos usar a regra de l’Hôpital, já que ao substituir temos a forma , que é indeterminada.
Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de em relação a é 1
Então, o limite se torna:

Passo 5

Voltando ao limite dentro do expoente:
b cdot limx to 0 ln(1 + a x)x = b cdot a = a b

Resposta

Portanto, o limite original é:
lim x 0(1+a x)^bx = e^a b

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