Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que demonstrar que a integral de
de
a
é igual a
quando
é diferente de
e igual a
quando
é igual a
. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a multiplicação de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma combinação de cossenos. A identidade é:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral que temos que resolver.
Passo 3
Aplicando a identidade na nossa integral, substituímos
por
. Fica assim:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral individualmente.
Passo 5
Sabemos que a integral de
de
a
é
quando
é diferente de zero. Isso ocorre porque a função cosseno é ímpar nesse intervalo, cancelando as áreas positivas e negativas.
Passo 6
Vamos analisar os dois casos:
-
Quando
: - Tanto
quanto são diferentes de zero. - Portanto, ambas as integrais dão
. - Assim, a integral total é
.
- Tanto
-
Quando
: -
, então . - A integral de
de a é . - Já
com integra para . - Assim, a integral total é
.
-
Resposta
Portanto, temos que
Exercícios relacionados
(1 ponto) Todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução.
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno de
.
(2 ponto) Escreva no formato de equações exatas, determine se é exata; se não for, calcule o fator integrante e resolva a equação.
(2 ponto) Use a condição inicial para encontrar a constante da solução geral, e escriva
em função de
. Calcule o seguinte limite, se existir: