Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
integral-pi^pi sin (m x) sin (n x) d x= 0 & se m neq n pi & se m=n
Dica: use as identidades
sin a cos b & =12[sin (a+b)+sin (a-b)] cos a cos b & =12[cos (a+b)+cos (a-b)] sin a sin b & =12[cos (a-b)-cos (a+b)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que demonstrar que a integral de de a é igual a quando é diferente de e igual a quando é igual a . Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a multiplicação de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma combinação de cossenos. A identidade é:
sin(a)sin(b) = 12[cos(a - b) - cos(a + b)]
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral que temos que resolver.

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral, substituímos integral-pi^pi sin(mx)sin(nx) dx = 12 integral-pi^pi [cos((m-n)x) - cos((m+n)x)] dx por . Fica assim:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral-pi^pi cos((m-n)x) dx - integral-pi^pi cos((m+n)x) dx )
Vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 5

Sabemos que a integral de de a é quando é diferente de zero. Isso ocorre porque a função cosseno é ímpar nesse intervalo, cancelando as áreas positivas e negativas.

Passo 6

Vamos analisar os dois casos:
  1. Quando :
    • Tanto quanto são diferentes de zero.
    • Portanto, ambas as integrais dão .
    • Assim, a integral total é .
  2. Quando :
    • , então .
    • A integral de de a é .
    • com integra para .
    • Assim, a integral total é .

Resposta

Portanto, temos que
integral-pi^pi sin(mx)sin(nx) dx = 0 & se m neq n pi & se m = n

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