Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que demonstrar que a integral de de a é igual a quando é diferente de e igual a quando é igual a . Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a multiplicação de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma combinação de cossenos. A identidade é:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral que temos que resolver.

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral, substituímos por . Fica assim:

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 5

Sabemos que a integral de de a é quando é diferente de zero. Isso ocorre porque a função cosseno é ímpar nesse intervalo, cancelando as áreas positivas e negativas.

Passo 6

Vamos analisar os dois casos:
  1. Quando :
    • Tanto quanto são diferentes de zero.
    • Portanto, ambas as integrais dão .
    • Assim, a integral total é .
  2. Quando :
    • , então .
    • A integral de de a é .
    • com integra para .
    • Assim, a integral total é .

Resposta

Portanto, temos que

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A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: ; em torno de .
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