(1 ponto) Todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução.

Passo 1

Então, a questão diz que “todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução”. Vamos falar sobre equações diferenciais e entender o que é um PVI. Para resolver isso, precisamos saber o que caracteriza um PVI e quais condições garantem que ele tenha uma solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é um problema de valor inicial. Um PVI é uma equação diferencial acompanhada de uma condição inicial, ou seja, um valor específico que a solução deve assumir em um ponto inicial, geralmente no tempo zero. Por exemplo, em uma equação que descreve como a posição de um objeto muda ao longo do tempo, a condição inicial pode ser a posição do objeto no tempo zero.

Passo 3

Agora, para que um PVI tenha uma solução única, precisamos que a equação diferencial satisfaça certas condições. Um resultado importante aqui é o Teorema de Picard-Lindelöf, que afirma que se a função que define a equação diferencial for contínua e satisfizer uma condição chamada “Lipschitz” em torno do ponto inicial, então existe exatamente uma solução que atende à condição inicial.

Passo 4

Isso quer dizer que nem todo PVI vai necessariamente ter uma única solução. Se a função na equação diferencial não for contínua ou não cumprir a condição de Lipschitz, pode haver nenhuma solução ou várias soluções que atendem à condição inicial.

Resposta

A afirmação é falsa. Nem todo problema de valor inicial garante uma única solução; isso depende das condições específicas do problema.

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