(2 ponto) Escreva no formato de equações exatas, determine se é exata; se não for, calcule o fator integrante e resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma equação diferencial e pede para escrever no formato de equações exatas, verificar se é exata, e se não for, encontrar um fator integrante para resolver. Para isso, vamos precisar entender o que são equações exatas e como identificar e resolver esse tipo de equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada em uma forma que a gente possa trabalhar melhor. A equação é:
Vamos rearrumar essa equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a forem iguais. Ou seja, se:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 5

Comparando as derivadas:
Como , a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, a torna exata.
Existem várias maneiras de encontrar esse fator, mas vamos assumir que depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar primeiro com .

Passo 7

Se assumirmos que depende apenas de , então o fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Isso parece complicado e não depende apenas de . Vamos tentar assumir que depende apenas de .

Passo 8

Assumindo que depende apenas de , então o fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Essa expressão também depende de , então não é uma função apenas de . Isso significa que precisamos tentar outro método ou considerar que o fator integrante depende tanto de quanto de .

Passo 9

Dado que o fator integrante não depende apenas de ou apenas de , podemos procurar um fator integrante que é uma função de ambos. Para simplificar, vamos tentar encontrar novamente, mas observando que a dependência de está no termo .
No entanto, isso pode ser complexo. Outra abordagem é tentar um fator integrante do tipo onde é uma função que ajusta a exatidão. Vamos tentar descobrir.

Passo 10

Vamos reconsiderar a condição de exatidão após multiplicar pela função . Queremos que:
Onde é função de . Calculando:
Substituindo os valores:
Rearranjando:

Passo 11

Agora temos uma equação diferencial para :
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Exponentiando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma constante. Podemos ignorar para simplificar, então:

Passo 12

Agora que encontramos o fator integrante , vamos multiplicar a equação diferencial original por esse fator para torná-la exata:

Passo 13

Agora, a equação é exata, então podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 14

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os dois lados:
Eliminando os termos iguais:
Integrando em relação a :

Passo 15

Então, a função potencial é:
Onde é a constante de integração.

Passo 16

Finalmente, resolvendo para com a condição inicial :
Substituindo e na equação:
Então, a solução geral é:
Podemos rearranjar para:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
(1 ponto) Todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução.
(2 ponto) Use a condição inicial para encontrar a constante da solução geral, e escriva em função de . Calcule o seguinte limite, se existir:
(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.