(2 ponto) Escreva no formato de equações exatas, determine se é exata; se não for, calcule o fator integrante e resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma equação diferencial e pede para escrever no formato de equações exatas, verificar se é exata, e se não for, encontrar um fator integrante para resolver. Para isso, vamos precisar entender o que são equações exatas e como identificar e resolver esse tipo de equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada em uma forma que a gente possa trabalhar melhor. A equação é:
Vamos rearrumar essa equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial
é exata se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
forem iguais. Ou seja, se:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Comparando as derivadas:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. O fator integrante é uma função
que, quando multiplicada pela equação original, a torna exata.
Existem várias maneiras de encontrar esse fator, mas vamos assumir que
depende apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar primeiro com
.
Passo 7
Se assumirmos que
depende apenas de
, então o fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Isso parece complicado e não depende apenas de
. Vamos tentar assumir que
depende apenas de
.
Passo 8
Assumindo que
depende apenas de
, então o fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Essa expressão também depende de
, então não é uma função apenas de
. Isso significa que precisamos tentar outro método ou considerar que o fator integrante depende tanto de
quanto de
.
Passo 9
Dado que o fator integrante não depende apenas de
ou apenas de
, podemos procurar um fator integrante que é uma função de ambos. Para simplificar, vamos tentar encontrar
novamente, mas observando que a dependência de
está no termo
.
No entanto, isso pode ser complexo. Outra abordagem é tentar um fator integrante do tipo
onde
é uma função que ajusta a exatidão. Vamos tentar descobrir.
Passo 10
Vamos reconsiderar a condição de exatidão após multiplicar pela função
. Queremos que:
Onde
é função de
. Calculando:
Substituindo os valores:
Rearranjando:
Passo 11
Agora temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando ambos os lados para resolver para
:
Onde
é uma constante. Podemos ignorar
para simplificar, então:
Passo 12
Agora que encontramos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação diferencial original por esse fator para torná-la exata:
Passo 13
Agora, a equação é exata, então podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 14
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os dois lados:
Eliminando os termos iguais:
Integrando em relação a
:
Passo 15
Então, a função potencial
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 16
Finalmente, resolvendo para
com a condição inicial
:
Substituindo
e
na equação:
Então, a solução geral é:
Podemos rearranjar para:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
(1 ponto) Todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução.
(2 ponto) Use a condição inicial para encontrar a constante da solução geral, e escriva
em função de
. Calcule o seguinte limite, se existir:
(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.