A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Vamos usar o método de discos ou anéis para resolver isso. Precisamos entender como essas curvas se comportam e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas. A equação
representa uma parábola que abre para a direita com vértice no ponto
. A outra equação,
, é uma reta vertical. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de
.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Resolvendo para
:
Então, os limites de integração para
são de
a
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos discos (ou anéis). Quando giramos em torno de
, cada elemento diferencial se torna um anel com raio externo e interno. A fórmula para o volume de um anel é:
onde
é a distância do eixo de rotação até a curva externa, e
é a distância até a curva interna.
Passo 5
Identificando
e
:
- A curva externa é
, então a distância até é . - A curva interna é
, então a distância até é .
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então quando
,
, e quando
,
. A integral se torna:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 10
Devido à simetria da função em torno de
, os termos ímpares vão se cancelar. Portanto, apenas os termos pares contribuem:
Passo 11
Simplificando:
Fatorando
:
Calculando o que está dentro dos colchetes:
Passo 12
Finalmente, substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
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(1 ponto) Todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução.
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades