A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: ; em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Vamos usar o método de discos ou anéis para resolver isso. Precisamos entender como essas curvas se comportam e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas. A equação representa uma parábola que abre para a direita com vértice no ponto . A outra equação, , é uma reta vertical. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de .

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Resolvendo para :
Então, os limites de integração para são de a .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos discos (ou anéis). Quando giramos em torno de , cada elemento diferencial se torna um anel com raio externo e interno. A fórmula para o volume de um anel é:
onde é a distância do eixo de rotação até a curva externa, e é a distância até a curva interna.

Passo 5

Identificando e :
  • A curva externa é , então a distância até é .
  • A curva interna é , então a distância até é .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto:

Passo 8

Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então quando , , e quando , . A integral se torna:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :

Passo 10

Devido à simetria da função em torno de , os termos ímpares vão se cancelar. Portanto, apenas os termos pares contribuem:

Passo 11

Simplificando:
Fatorando :
Calculando o que está dentro dos colchetes:

Passo 12

Finalmente, substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
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