Demonstre que uma função
, definida em toda a reta, ou em um intervalo
, se decompõe univocamente na forma
, onde
é uma função par e
é uma função ímpar.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer função
, definida em toda a reta ou em um intervalo
, pode ser escrita de forma única como a soma de duas funções: uma par (
) e uma ímpar (
). Vamos usar conhecimentos de funções pares e ímpares e ver como decompor
nessas duas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
-
Função Par: É uma função que satisfaz
para todo no domínio. Ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo . -
Função Ímpar: É uma função que satisfaz
para todo no domínio. O gráfico é simétrico em relação à origem.
Nossa meta é encontrar
e
de tal forma que
, onde
é par e
é ímpar.
Passo 3
Vamos tentar expressar
e
em termos de
e
.
Começamos somando e subtraindo
de
:
Passo 4
Vamos verificar se
é realmente uma função par:
Assim,
satisfaz
, ou seja, é par.
Agora, vamos verificar se
é uma função ímpar:
Portanto,
satisfaz
, ou seja, é ímpar.
Passo 5
Agora, vamos confirmar que
:
Portanto, a decomposição está correta.
Passo 6
Por fim, para provar que essa decomposição é única, suponha que exista outra decomposição
, onde
é par e
é ímpar. Então:
Subtraindo
e
, temos:
O lado esquerdo é ímpar e o lado direito é par. A única maneira disso acontecer é se ambos forem iguais a zero para todo
. Assim,
e
, mostrando que a decomposição é única.
Resposta
Qualquer função
pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par
e uma função ímpar
. Portanto,
com
par e
ímpar.
Exercícios relacionados
Verifique a paridade das seguintes funções:
Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Encontre a função
(inclusive o seu domínio) que satisfaça a propriedade
.
Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o domínio de existência de .
Encontre o domínio de existência de