Demonstre que uma função f, definida em toda a reta, ou em um intervalo (-a, a), se decompõe univocamente na forma f = g + h, onde g é uma função par e h é uma função ímpar.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer função , definida em toda a reta ou em um intervalo , pode ser escrita de forma única como a soma de duas funções: uma par ( ) e uma ímpar ( ). Vamos usar conhecimentos de funções pares e ímpares e ver como decompor nessas duas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: É uma função que satisfaz para todo no domínio. Ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo .
  • Função Ímpar: É uma função que satisfaz para todo no domínio. O gráfico é simétrico em relação à origem.
Nossa meta é encontrar e de tal forma que , onde é par e é ímpar.

Passo 3

Vamos tentar expressar e em termos de e .
Começamos somando e subtraindo de :

Passo 4

Vamos verificar se é realmente uma função par:
Assim, satisfaz , ou seja, é par.
Agora, vamos verificar se é uma função ímpar:
Portanto, satisfaz , ou seja, é ímpar.

Passo 5

Agora, vamos confirmar que :
Portanto, a decomposição está correta.

Passo 6

Por fim, para provar que essa decomposição é única, suponha que exista outra decomposição , onde é par e é ímpar. Então:
Subtraindo e , temos:
O lado esquerdo é ímpar e o lado direito é par. A única maneira disso acontecer é se ambos forem iguais a zero para todo . Assim, e , mostrando que a decomposição é única.

Resposta

Qualquer função pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par e uma função ímpar . Portanto, com par e ímpar.

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