Encontre a função f (inclusive o seu domínio) que satisfaça a propriedade (f(x)-3)/(f(x)+3)=x.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a função que satisfaz a equação . Estamos trabalhando com funções e álgebra. Para resolver isso, precisamos isolar na equação dada e também determinar o domínio dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos começar isolando na equação. Temos:
Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador :

Passo 3

Agora, vamos distribuir o no lado direito da equação:
Em seguida, vamos trazer todos os termos que contêm para um lado da equação e os demais termos para o outro lado:
Factoring no lado esquerdo:

Passo 4

Agora, para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :
Podemos simplificar a expressão mudando os sinais no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio da função . O denominador da fração não pode ser zero, então:
Além disso, verificamos se há outros valores que possam tornar a função indefinida. Na equação original, , mas ao resolver encontramos que isso não ocorre para nenhum diferente de 1.

Resposta

A função que satisfaz a propriedade dada é:
Com o domínio definido para todos os números reais, exceto .

Exercícios relacionados

Demonstre que uma função f, definida em toda a reta, ou em um intervalo (-a, a), se decompõe univocamente na forma f = g + h, onde g é uma função par e h é uma função ímpar.
Verifique a paridade das seguintes funções:
g(x) = x^3 + x
Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o domínio de existência de f(x) = (x + 3) / (4 - raiz(x^2 - 25)).
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / x