Encontre a função
(inclusive o seu domínio) que satisfaça a propriedade
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a função
que satisfaz a equação
. Estamos trabalhando com funções e álgebra. Para resolver isso, precisamos isolar
na equação dada e também determinar o domínio dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos começar isolando
na equação. Temos:
Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador
:
Passo 3
Agora, vamos distribuir o
no lado direito da equação:
Em seguida, vamos trazer todos os termos que contêm
para um lado da equação e os demais termos para o outro lado:
Factoring
no lado esquerdo:
Passo 4
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Podemos simplificar a expressão mudando os sinais no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O denominador da fração não pode ser zero, então:
Além disso, verificamos se há outros valores que possam tornar a função indefinida. Na equação original,
, mas ao resolver encontramos que isso não ocorre para nenhum
diferente de 1.
Resposta
A função que satisfaz a propriedade dada é:
Com o domínio definido para todos os números reais, exceto
.
Exercícios relacionados
Demonstre que uma função
, definida em toda a reta, ou em um intervalo
, se decompõe univocamente na forma
, onde
é uma função par e
é uma função ímpar.
Verifique a paridade das seguintes funções:
Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o domínio de existência de .
Encontre o domínio de existência de
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial: