Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
f(x) = { 1 - x, x <= -1 ; x^2, x > -1 }

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma função definida por partes:
A matéria envolvida aqui é Funções, mais especificamente Funções por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta, desenhar o gráfico e identificar onde a função está aumentando ou diminuindo, além de determinar o conjunto imagem (todos os valores que a função pode assumir).

Passo 2

Vamos começar analisando cada parte da função separadamente.
Primeira parte: para
Essa é uma função linear com coeficiente angular , o que significa que ela é decrescente. Ou seja, conforme aumenta, diminui.
Segunda parte: para
Essa é uma função quadrática, que é uma parábola voltada para cima. Ela tem um ponto mínimo, que vamos encontrar no próximo passo.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto em que as duas partes da função se encontram, ou seja, no limite onde .
Para :
Agora, vamos verificar o que acontece logo após com a segunda parte da função.
Note que há um “salto” na função, já que na primeira parte e na segunda parte. Isso indica que a função não é contínua nesse ponto.

Passo 4

Vamos desenhar o gráfico.
  1. Para : É uma linha reta decrescente que passa pelo ponto .
  2. Para : É uma parábola com vértice na origem , mas começando em . No ponto , .
Assim, o gráfico terá duas partes distintas com um salto em .

Passo 5

Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
  • Primeira parte ( ): Como a função é e o coeficiente angular é , a função é decrescente nesse intervalo.
  • Segunda parte ( ): A função é . Sabemos que uma parábola voltada para cima é decrescente para e crescente para . Assim:
    • Decrescente em
    • Crescente em

Passo 6

Por fim, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de .
  • Primeira parte ( ): Como , e pode ir até , pode ir até .
  • Segunda parte ( ): A função assume todos os valores maiores ou iguais a .
Considerando o salto em , onde na primeira parte e na segunda, o conjunto imagem será:

Resposta

O gráfico da função é composto por uma reta decrescente para e uma parábola voltada para cima para , com um salto em . A função é decrescente em e em , e crescente para . O conjunto imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja, .

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