Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma função definida por partes:
A matéria envolvida aqui é Funções, mais especificamente Funções por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta, desenhar o gráfico e identificar onde a função está aumentando ou diminuindo, além de determinar o conjunto imagem (todos os valores que a função pode assumir).
Passo 2
Vamos começar analisando cada parte da função separadamente.
Primeira parte:
para
Essa é uma função linear com coeficiente angular
, o que significa que ela é decrescente. Ou seja, conforme
aumenta,
diminui.
Segunda parte:
para
Essa é uma função quadrática, que é uma parábola voltada para cima. Ela tem um ponto mínimo, que vamos encontrar no próximo passo.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto em que as duas partes da função se encontram, ou seja, no limite onde
.
Para
:
Agora, vamos verificar o que acontece logo após
com a segunda parte da função.
Note que há um “salto” na função, já que
na primeira parte e
na segunda parte. Isso indica que a função não é contínua nesse ponto.
Passo 4
Vamos desenhar o gráfico.
- Para
: É uma linha reta decrescente que passa pelo ponto . - Para
: É uma parábola com vértice na origem , mas começando em . No ponto , .
Assim, o gráfico terá duas partes distintas com um salto em
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
-
Primeira parte (
): Como a função é e o coeficiente angular é , a função é decrescente nesse intervalo. -
Segunda parte (
): A função é . Sabemos que uma parábola voltada para cima é decrescente para e crescente para . Assim: - Decrescente em
- Crescente em
- Decrescente em
Passo 6
Por fim, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
.
-
Primeira parte (
): Como , e pode ir até , pode ir até . -
Segunda parte (
): A função assume todos os valores maiores ou iguais a .
Considerando o salto em
, onde
na primeira parte e
na segunda, o conjunto imagem será:
Resposta
O gráfico da função é composto por uma reta decrescente para
e uma parábola voltada para cima para
, com um salto em
. A função é decrescente em
e em
, e crescente para
. O conjunto imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
Verifique a paridade das seguintes funções:
Demonstre que uma função
, definida em toda a reta, ou em um intervalo
, se decompõe univocamente na forma
, onde
é uma função par e
é uma função ímpar.