Demonstre que se é um grupo abeliano, então, para todos e todo número inteiro , temos .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo abeliano , o que significa que a operação do grupo é comutativa: para quaisquer elementos e em , . A questão quer que mostremos que, para todo e todo número inteiro , a potência do produto é igual ao produto das potências . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de grupos abelianos e a definição de potência de um elemento em um grupo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em um grupo, a potência de um elemento elevado a , denotado por , é definido como a multiplicação de por si mesmo vezes. Por exemplo, . Também sabemos que como é abeliano, a ordem em que multiplicamos os elementos não altera o resultado.

Passo 3

Vamos usar indução matemática para provar que para todo inteiro positivo . A indução começa verificando o caso base e, em seguida, assumindo que a propriedade vale para um inteiro e mostrando que ela também vale para .

Passo 4

Caso base ( ):
e . Portanto, .

Passo 5

Passo indutivo:
Assumimos que é verdadeiro para algum inteiro . Queremos mostrar que isso implica que .

Passo 6

Calculamos :
Pela hipótese de indução:

Passo 7

Como é abeliano, podemos reordenar os elementos:
Portanto, , completando o passo indutivo.

Passo 8

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro . Para números inteiros negativos, usamos a propriedade dos inversos em grupos abelianos, seguindo um raciocínio semelhante.

Resposta

Portanto, demonstramos que em um grupo abeliano , para todos e todo número inteiro , temos .

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Mostre que munido da operação tal que é um grupo comutativo.
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a) passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor .
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a) O plano passa pelo ponto e é paralelo ao plano : .