Demonstre que se
é um grupo abeliano, então, para todos
e todo número inteiro
, temos
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo abeliano
, o que significa que a operação do grupo é comutativa: para quaisquer elementos
e
em
,
. A questão quer que mostremos que, para todo
e todo número inteiro
, a potência do produto
é igual ao produto das potências
. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de grupos abelianos e a definição de potência de um elemento em um grupo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que em um grupo, a potência de um elemento
elevado a
, denotado por
, é definido como a multiplicação de
por si mesmo
vezes. Por exemplo,
. Também sabemos que como
é abeliano, a ordem em que multiplicamos os elementos não altera o resultado.
Passo 3
Vamos usar indução matemática para provar que
para todo inteiro positivo
. A indução começa verificando o caso base e, em seguida, assumindo que a propriedade vale para um inteiro
e mostrando que ela também vale para
.
Passo 4
Caso base (
):
e
. Portanto,
.
Passo 5
Passo indutivo:
Assumimos que é verdadeiro para algum inteiro
. Queremos mostrar que isso implica que
.
Assumimos que
Passo 6
Calculamos
:
Pela hipótese de indução:
Passo 7
Como
é abeliano, podemos reordenar os elementos:
Portanto,
, completando o passo indutivo.
Passo 8
Assim, por indução matemática, mostramos que
para todo inteiro
. Para números inteiros negativos, usamos a propriedade dos inversos em grupos abelianos, seguindo um raciocínio semelhante.
Resposta
Portanto, demonstramos que em um grupo abeliano
, para todos
e todo número inteiro
, temos
.
Exercícios relacionados
Mostre que
munido da operação
tal que
é um grupo comutativo.
Escreva as equações paramétricas do plano
nos casos a seguir.
a) passa pelos pontos
e
e é paralelo ao vetor
.
a)
Determine uma equação geral do plano nos seguintes casos:
a) O plano passa pelo ponto e é paralelo ao plano
:
.
a) O plano passa pelo ponto