Demonstre que se G é um grupo abeliano, então, para todos a, b in G e todo número inteiro n, temos (a b)^n=a^n b^n.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo abeliano G, o que significa que a operação do grupo é comutativa: para quaisquer elementos a e b em G, a b = b a. A questão quer que mostremos que, para todo a, b in G e todo número inteiro n, a potência do produto (a b)^n é igual ao produto das potências a^n b^n. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de grupos abelianos e a definição de potência de um elemento em um grupo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em um grupo, a potência de um elemento a elevado a n, denotado por a^n, é definido como a multiplicação de a por si mesmo n vezes. Por exemplo, a^3 = a cdot a cdot a. Também sabemos que como G é abeliano, a ordem em que multiplicamos os elementos não altera o resultado.

Passo 3

Vamos usar indução matemática para provar que (a b)^n = a^n b^n para todo inteiro positivo n. A indução começa verificando o caso base e, em seguida, assumindo que a propriedade vale para um inteiro k e mostrando que ela também vale para k+1.

Passo 4

Caso base ( n = 1):
(a b)^1 = a b e a^1 b^1 = a b. Portanto, (a b)^1 = a^1 b^1.

Passo 5

Passo indutivo:
Assumimos que (a b)^k = a^k b^k é verdadeiro para algum inteiro k >= 1. Queremos mostrar que isso implica que (a b)^k+1 = a^k+1 b^k+1.

Passo 6

Calculamos (a b)^k+1:
(a b)^k+1 = (a b)^k cdot (a b)
Pela hipótese de indução:
(a b)^k cdot (a b) = a^k b^k cdot a b

Passo 7

Como G é abeliano, podemos reordenar os elementos:
a^k b^k cdot a b = a^k cdot a cdot b^k cdot b = a^k+1 b^k+1
Portanto, (a b)^k+1 = a^k+1 b^k+1, completando o passo indutivo.

Passo 8

Assim, por indução matemática, mostramos que (a b)^n = a^n b^n para todo inteiro n >= 1. Para números inteiros negativos, usamos a propriedade dos inversos em grupos abelianos, seguindo um raciocínio semelhante.

Resposta

Portanto, demonstramos que em um grupo abeliano G, para todos a, b in G e todo número inteiro n, temos (a b)^n = a^n b^n.

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