Determine uma equação geral do plano nos seguintes casos:
a) O plano passa pelo ponto e é paralelo ao plano : .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo ao plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o plano está definido. O enunciado nos dá as equações paramétricas de :
Aqui, e são parâmetros que variam em . A partir dessas equações, podemos identificar dois vetores diretores do plano .
Passo 3
Vamos extrair os vetores diretores. Observando as equações paramétricas:
O coeficiente de é o vetor diretor .
O coeficiente de é o vetor diretor .
Estes vetores mostram as direções em que o plano se estende.
Passo 4
Como o plano que queremos é paralelo ao plano , ele terá os mesmos vetores diretores e . Para encontrar a equação do plano, precisamos determinar um vetor normal que seja perpendicular a ambos os vetores diretores.
Para encontrar , vamos calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal e um ponto que pertence ao nosso plano, podemos usar a equação geral do plano: