Determine uma equação geral do plano nos seguintes casos:
a) O plano passa pelo ponto e é paralelo ao plano : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo ao plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o plano está definido. O enunciado nos dá as equações paramétricas de :
Aqui, e são parâmetros que variam em . A partir dessas equações, podemos identificar dois vetores diretores do plano .

Passo 3

Vamos extrair os vetores diretores. Observando as equações paramétricas:
  • O coeficiente de é o vetor diretor .
  • O coeficiente de é o vetor diretor .
Estes vetores mostram as direções em que o plano se estende.

Passo 4

Como o plano que queremos é paralelo ao plano , ele terá os mesmos vetores diretores e . Para encontrar a equação do plano, precisamos determinar um vetor normal que seja perpendicular a ambos os vetores diretores.
Para encontrar , vamos calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal e um ponto que pertence ao nosso plano, podemos usar a equação geral do plano:
Onde e . Substituindo os valores:
Expandindo e simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é .

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Demonstre que se é um grupo abeliano, então, para todos e todo número inteiro , temos .
Mostre que munido da operação tal que é um grupo abeliano.
Escreva as equações paramétricas do plano nos casos a seguir.
b) passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor , sendo e .