Determine uma equação geral do plano nos seguintes casos:
a) O plano passa pelo ponto P(3,2,0) e é paralelo ao plano alpha : lx=1+h+2 t y=2+2 h+t z=3 t, h, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo ao plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o plano x = 1 + h + 2t y = 2 + 2h + t z = 3t está definido. O enunciado nos dá as equações paramétricas de :
Aqui, e são parâmetros que variam em . A partir dessas equações, podemos identificar dois vetores diretores do plano .

Passo 3

Vamos extrair os vetores diretores. Observando as equações paramétricas:
  • O coeficiente de é o vetor diretor .
  • O coeficiente de é o vetor diretor .
Estes vetores mostram as direções em que o plano se estende.

Passo 4

Como o plano que queremos é paralelo ao plano n = u times v = i & j & k 1 & 2 & 0 2 & 1 & 3 , ele terá os mesmos vetores diretores n = i(2 cdot 3 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 3 - 0 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 2) = (6, -3, -3) e n = (2, -1, -1) . Para encontrar a equação do plano, precisamos determinar um vetor normal que seja perpendicular a ambos os vetores diretores.
Para encontrar , vamos calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e um ponto 2(x - 3) -1(y - 2) -1(z - 0) = 0 que pertence ao nosso plano, podemos usar a equação geral do plano:
2x - 6 - y + 2 - z = 0 2x - y - z - 4 = 0
Onde e . Substituindo os valores:
Expandindo e simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é .

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