Seja $\mathcal{B}=\{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)\}$ uma base de $\mathbb{R}^{3}$ e $\mathcal{E}$ a base canônica de $\mathbb{R}^{3}$. (a) Determine a matriz de mudança de base de $\mathcal{B}$ para $\mathcal{E}$, ou seja, a matriz $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$. (b) Determine a matriz de mudança de base de $\mathcal{E}$ para $\mathcal{B}$, ou seja, a matriz $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{E}}$.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma base $\mathcal{B} = \{(1,1,0), (0,1,0), (0,0,3)\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ e a base canônica $\mathcal{E}$ de $\mathbb{R}^{3}$. A gente precisa encontrar duas coisas:
a) A matriz de mudança de base de $\mathcal{B}$ para $\mathcal{E}$, que chamaremos de $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$.
b) A matriz de mudança de base de $\mathcal{E}$ para $\mathcal{B}$, que chamaremos de $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{E}}$.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com a parte **(a)**: Encontrar a matriz de mudança de base $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$.
Primeiro, o que é essa matriz de mudança de base? Ela serve para converter as coordenadas de um vetor que está na base $\mathcal{B}$ para as coordenadas na base $\mathcal{E}$, que é a base padrão.
Como a base $\mathcal{E}$ é a base canônica, os vetores dessa base são simplesmente os vetores com um 1 em uma posição e 0 nas outras, ou seja, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$. Isso facilita as coisas porque as coordenadas na base canônica são as próprias coordenadas do vetor.
A matriz de mudança de base $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$ é formada colocando-se os vetores da base $\mathcal{B}$ como colunas na ordem em que aparecem. Então, vamos fazer isso:
Temos $\mathcal{B} = \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \} = \{ (1,1,0), (0,1,0), (0,0,3) \}$.
Então, a matriz $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$ será:
\[
P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
\]
Passo 3
Agora vamos para a parte **(b)**: Encontrar a matriz de mudança de base $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{E}}$.
Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor que está na base $\mathcal{E}$ para as coordenadas na base $\mathcal{B}$. Para encontrar essa matriz, precisamos basicamente inverter o processo que fizemos na parte (a).
Sabemos que se $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$ é a matriz que vai de $\mathcal{B}$ para $\mathcal{E}$, então sua inversa será a matriz que faz o caminho contrário, ou seja, $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{E}}$.
Então, vamos calcular a inversa de $P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}}$ que já encontramos:
\[
P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
\]
A inversa dessa matriz é:
\[
P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{E}} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{3} \\
\end{pmatrix}
\]
Resposta
a) A matriz de mudança de base de $\mathcal{B}$ para $\mathcal{E}$ é:
\[
P_{\mathcal{E} \leftarrow \mathcal{B}} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
\]
b) A matriz de mudança de base de $\mathcal{E}$ para $\mathcal{B}$ é:
\[
P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{E}} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{3} \\
\end{pmatrix}
\]