Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão criticas a partir dos parâmetros e , chegando-se a

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre a equação de van der Waals, que é usada pra descrever o comportamento dos gases reais. A gente precisa usar as condições de que a primeira e segunda derivadas da pressão em relação ao volume, na temperatura crítica , são iguais a zero. Com isso, vamos encontrar as expressões para o volume crítico , a temperatura crítica e a pressão crítica em função dos parâmetros e da equação de van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
Aqui, é a pressão, é o volume molar, é a temperatura, é a constante dos gases, e e são parâmetros que ajustam a equação para considerar as interações entre as moléculas e o volume ocupado por elas.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação de van der Waals para isolar :
Essa será a função que vamos usar para encontrar as derivadas.

Passo 4

Agora precisamos encontrar a primeira derivada de em relação a :
Segundo o enunciado, essa derivada é zero na temperatura crítica :

Passo 5

A segunda derivada de em relação a é:
Também, segundo o enunciado, essa derivada é zero em :

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos resolver essas equações para encontrar , e .

Passo 7

Resolvendo a primeira equação para :

Passo 8

Resolvendo a segunda equação para :
Simplificando:

Passo 9

Igualando as duas expressões para :
Cancelando e multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :
Distribuindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto:

Passo 10

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão da Passo 7:
Então:

Passo 11

Por fim, vamos encontrar usando a equação de van der Waals:
Simplificando:

Resposta

As variáveis críticas são dadas por:

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.
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