Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de (partial Ppartial V)T=TC=0 (partial^2 Ppartial V^2)T=TC=0 podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão criticas a partir dos parâmetros a e b, chegando-se a
nablaC=3 b, TC=8 a27 R b, PC=127 ab^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre a equação de van der Waals, que é usada pra descrever o comportamento dos gases reais. A gente precisa usar as condições de que a primeira e segunda derivadas da pressão em relação ao volume, na temperatura crítica , são iguais a zero. Com isso, vamos encontrar as expressões para o volume crítico , a temperatura crítica e a pressão crítica em função dos parâmetros e da equação de van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
(P + aV^2)(V - b) = R T
Aqui, é a pressão, é o volume molar, é a temperatura, é a constante dos gases, e e são parâmetros que ajustam a equação para considerar as interações entre as moléculas e o volume ocupado por elas.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação de van der Waals para isolar P = R TV - b - aV^2 :
Essa será a função que vamos usar para encontrar as derivadas.

Passo 4

Agora precisamos encontrar a primeira derivada de (partial Ppartial V)T = -R T(V - b)^2 + 2 aV^3 em relação a -R TC(VC - b)^2 + 2 aVC^3 = 0 :
Segundo o enunciado, essa derivada é zero na temperatura crítica :

Passo 5

A segunda derivada de (partial^2 Ppartial V^2)T = 2 R T(V - b)^3 - 6 aV^4 em relação a 2 R TC(VC - b)^3 - 6 aVC^4 = 0 é:
Também, segundo o enunciado, essa derivada é zero em :

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos resolver essas equações para encontrar , e .

Passo 7

Resolvendo a primeira equação para R TC = 2 a (VC - b)^2VC^3 :

Passo 8

Resolvendo a segunda equação para 2 R TC = 6 a (VC - b)^3VC^4 :
R TC = 3 a (VC - b)^3VC^4
Simplificando:

Passo 9

Igualando as duas expressões para 2 a (VC - b)^2VC^3 = 3 a (VC - b)^3VC^4 :
2 (VC - b)^2 VC = 3 (VC - b)^3
Cancelando 2 VC = 3 (VC - b) e multiplicando ambos os lados por 2 VC = 3 VC - 3 b :
0 = VC - 3 b
Dividindo ambos os lados por VC = 3 b :
Distribuindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto:

Passo 10

Agora que temos R TC = 2 a (3 b - b)^2(3 b)^3 = 2 a (2 b)^227 b^3 = 8 a b^227 b^3 = 8 a27 b , vamos encontrar TC = 8 a27 R b usando a expressão da Passo 7:
Então:

Passo 11

Por fim, vamos encontrar PC = R TCVC - b - aVC^2 = R (8 a27 R b)3 b - b - a(3 b)^2 usando a equação de van der Waals:
PC = 8 a27 b cdot 2 b - a9 b^2 = 8 a54 b^2 - 6 a54 b^2 = 2 a54 b^2 = a27 b^2
Simplificando:

Resposta

As variáveis críticas são dadas por:
VC = 3 b, TC = 8 a27 R b, PC = a27 b^2

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