Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão criticas a partir dos parâmetros e , chegando-se a
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre a equação de van der Waals, que é usada pra descrever o comportamento dos gases reais. A gente precisa usar as condições de que a primeira e segunda derivadas da pressão em relação ao volume, na temperatura crítica , são iguais a zero. Com isso, vamos encontrar as expressões para o volume crítico , a temperatura crítica e a pressão crítica em função dos parâmetros e da equação de van der Waals.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
Aqui, é a pressão, é o volume molar, é a temperatura, é a constante dos gases, e e são parâmetros que ajustam a equação para considerar as interações entre as moléculas e o volume ocupado por elas.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação de van der Waals para isolar :
Essa será a função que vamos usar para encontrar as derivadas.
Passo 4
Agora precisamos encontrar a primeira derivada de em relação a :
Segundo o enunciado, essa derivada é zero na temperatura crítica :
Passo 5
A segunda derivada de em relação a é:
Também, segundo o enunciado, essa derivada é zero em :
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos resolver essas equações para encontrar , e .
Passo 7
Resolvendo a primeira equação para :
Passo 8
Resolvendo a segunda equação para :
Simplificando:
Passo 9
Igualando as duas expressões para :
Cancelando e multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :
Distribuindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto:
Passo 10
Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão da Passo 7:
Então:
Passo 11
Por fim, vamos encontrar usando a equação de van der Waals: