Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de
podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão criticas a partir dos parâmetros
e
, chegando-se a
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre a equação de van der Waals, que é usada pra descrever o comportamento dos gases reais. A gente precisa usar as condições de que a primeira e segunda derivadas da pressão em relação ao volume, na temperatura crítica
, são iguais a zero. Com isso, vamos encontrar as expressões para o volume crítico
, a temperatura crítica
e a pressão crítica
em função dos parâmetros
e
da equação de van der Waals.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
Aqui,
é a pressão,
é o volume molar,
é a temperatura,
é a constante dos gases, e
e
são parâmetros que ajustam a equação para considerar as interações entre as moléculas e o volume ocupado por elas.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação de van der Waals para isolar
:
Essa será a função
que vamos usar para encontrar as derivadas.
Passo 4
Agora precisamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
Segundo o enunciado, essa derivada é zero na temperatura crítica
:
Passo 5
A segunda derivada de
em relação a
é:
Também, segundo o enunciado, essa derivada é zero em
:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
.
Passo 7
Resolvendo a primeira equação para
:
Passo 8
Resolvendo a segunda equação para
:
Simplificando:
Passo 9
Igualando as duas expressões para
:
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Distribuindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto:
Passo 10
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a expressão da Passo 7:
Então:
Passo 11
Por fim, vamos encontrar
usando a equação de van der Waals:
Simplificando:
Resposta
As variáveis críticas são dadas por: