Demonstre a identidade.
Traga tudo para seno e cosseno
Traga tudo para seno e cosseno
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa identidade trigonométrica juntos! O enunciado pede para demonstrar que
. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas básicas, como seno, cosseno, tangente e secante. Para resolver, vamos reescrever tudo em termos de seno e cosseno e simplificar os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
- Secante:
- Tangente:
Nosso objetivo é trazer tudo para termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação.
Passo 3
Substituímos
e
pelas suas definições em termos de seno e cosseno na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Aqui, combinamos as duas frações com denominador
.
Passo 5
Observamos que
é igual a
(uma identidade trigonométrica fundamental). Então, substituímos:
Passo 6
Agora, olhamos para o lado direito da equação original:
Passo 7
Comparando os dois lados, temos:
Os dois lados da equação são iguais, o que confirma que a identidade é verdadeira.
Resposta
A identidade
foi comprovada, pois ambos os lados resultam em
quando reescritos em termos de seno e cosseno.
Exercícios relacionados
Determine as demais razões trigonométricas.
Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
Determine as razões trigonométricas exatas para o ângulo cuja medida em radianos é dada.
Determine as demais razões trigonométricas.