Demonstre a identidade.
Traga tudo para seno e cosseno

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa identidade trigonométrica juntos! O enunciado pede para demonstrar que . Vamos usar conceitos de funções trigonométricas básicas, como seno, cosseno, tangente e secante. Para resolver, vamos reescrever tudo em termos de seno e cosseno e simplificar os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
  • Secante:
  • Tangente:
Nosso objetivo é trazer tudo para termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação.

Passo 3

Substituímos e pelas suas definições em termos de seno e cosseno na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Aqui, combinamos as duas frações com denominador .

Passo 5

Observamos que é igual a (uma identidade trigonométrica fundamental). Então, substituímos:

Passo 6

Agora, olhamos para o lado direito da equação original:

Passo 7

Comparando os dois lados, temos:
Os dois lados da equação são iguais, o que confirma que a identidade é verdadeira.

Resposta

A identidade foi comprovada, pois ambos os lados resultam em quando reescritos em termos de seno e cosseno.

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