Demonstre a identidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar duas identidades envolvendo a função hiperbólica seno, representada por . As identidades são:
e
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as funções hiperbólicas, especialmente o (seno hiperbólico) e o (cosseno hiperbólico). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a função seno hiperbólico:
E o cosseno hiperbólico:
Essas definições nos ajudam a manipular as expressões de forma mais fácil.

Passo 3

Vamos começar provando a primeira identidade:
Usando a definição de :
Então, provamos que .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda identidade:
Vamos usar as definições de e , e também a propriedade das funções hiperbólicas para somas de argumentos.
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Multiplicando os termos:
Então:
Portanto, mostramos que .

Resposta

Demonstramos as duas identidades:
e
Todas estão provadas corretamente!

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Verifique a aproximaçao linear dada em .
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c) derivada de no ponto