Demonstre a identidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar duas identidades envolvendo a função hiperbólica seno, representada por
. As identidades são:
e
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as funções hiperbólicas, especialmente o
(seno hiperbólico) e o
(cosseno hiperbólico). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a função seno hiperbólico:
E o cosseno hiperbólico:
Essas definições nos ajudam a manipular as expressões de forma mais fácil.
Passo 3
Vamos começar provando a primeira identidade:
Usando a definição de
:
Então, provamos que
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda identidade:
Vamos usar as definições de
e
, e também a propriedade das funções hiperbólicas para somas de argumentos.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Multiplicando os termos:
Então:
Portanto, mostramos que
.
Resposta
Demonstramos as duas identidades:
e
Todas estão provadas corretamente!
Exercícios relacionados
Para quais valores de
existe
Verifique a aproximaçao linear dada em
.
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
c) derivada de
no ponto