Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois limites que envolvem funções hiperbólicas. O que precisamos aqui é entender as definições das funções hiperbólicas, como
e
, e como elas se relacionam com o exponencial. Vamos precisar das fórmulas das funções hiperbólicas e das propriedades dos limites quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a função
. A função seno hiperbólico é dada por:
Então, o primeiro limite que queremos calcular é:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, analisamos o comportamento de cada termo quando
tende ao infinito.
Passo 4
Quando
vai para infinito,
tende a zero porque a exponencial negativa cresce muito rapidamente para zero. Portanto:
Assim, o limite do primeiro enunciado é
.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo limite:
.
A função tangente hiperbólica é definida como:
E a função cosseno hiperbólico é:
Passo 6
Substituindo as definições de
e
na expressão de
, temos:
Passo 7
Vamos dividir numerador e denominador por
para simplificar:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então: