Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.
& lim x infty senh xe^x & lim x infty tgh x

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites que envolvem funções hiperbólicas. O que precisamos aqui é entender as definições das funções hiperbólicas, como sinh x e tanh x, e como elas se relacionam com o exponencial. Vamos precisar das fórmulas das funções hiperbólicas e das propriedades dos limites quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a função sinh x. A função seno hiperbólico é dada por:
sinh x = e^x - e^-x2
Então, o primeiro limite que queremos calcular é:
limx infty sinh xe^x = limx infty e^x - e^-x2e^x = limx infty e^x - e^-x2 e^x

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
e^x - e^-x2 e^x = e^x2 e^x - e^-x2 e^x = 12 - e^-2x2
Agora, analisamos o comportamento de cada termo quando x tende ao infinito.

Passo 4

Quando x vai para infinito, e^-2x tende a zero porque a exponencial negativa cresce muito rapidamente para zero. Portanto:
12 - e^-2x2 approx 12 - 0 = 12
Assim, o limite do primeiro enunciado é 12.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo limite: limx infty tanh x.
A função tangente hiperbólica é definida como:
tanh x = sinh xcosh x
E a função cosseno hiperbólico é:
cosh x = e^x + e^-x2

Passo 6

Substituindo as definições de sinh x e cosh x na expressão de tanh x, temos:
tanh x = e^x - e^-x2e^x + e^-x2 = e^x - e^-xe^x + e^-x

Passo 7

Vamos dividir numerador e denominador por e^x para simplificar:
e^x - e^-xe^x + e^-x = 1 - e^-2x1 + e^-2x
Quando x tende ao infinito, e^-2x tende a zero, então:
1 - 01 + 0 = 1

Resposta

lim x infty sinh xe^x = 12 e lim x infty tanh x = 1

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