Demonstre por indução finita que , o número é divisivel por 7 .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar, por indução finita, que para todo número natural , o número é divisível por 7. Vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar afirmações que envolvem todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de , geralmente .
Calculando para :
Como 7 é divisível por 7, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
éí
Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que a afirmação é verdadeira para . Vamos calcular:
Podemos reescrever como e como :
Usando a hipótese de indução ( ), podemos expressar:
Distribuindo e simplificando:
Fatorando o 16:
Observe que é divisível por 7. Precisamos mostrar que também é divisível por 7:
Portanto:
Como sempre será um múltiplo de 7 devido à estrutura da expressão inicial, concluímos que é divisível por 7.

Resposta

Portanto, por indução finita, demonstramos que para todo número natural , o número é divisível por 7.

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