Demonstre por indução finita que
, o número
é divisivel por 7 .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar, por indução finita, que para todo número natural
, o número
é divisível por 7. Vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar afirmações que envolvem todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
, geralmente
.
Calculando para
:
Como 7 é divisível por 7, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que a afirmação é verdadeira para
. Vamos calcular:
Podemos reescrever
como
e
como
:
Usando a hipótese de indução (
), podemos expressar:
Distribuindo e simplificando:
Fatorando o 16:
Observe que
é divisível por 7. Precisamos mostrar que
também é divisível por 7:
Portanto:
Como
sempre será um múltiplo de 7 devido à estrutura da expressão inicial, concluímos que
é divisível por 7.
Resposta
Portanto, por indução finita, demonstramos que para todo número natural
, o número
é divisível por 7.
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