Prove por indução finita que
Passo 1
Vamos provar, usando indução finita, que a soma da sequência
é igual a
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicá-la a sequências geométricas.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Quando
, a soma é apenas
. Vamos ver o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais a
, a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum
. Ou seja, assumimos que:
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula funciona para
, ela também funciona para
.
Vamos considerar a soma para
:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Agora, vamos simplificar:
Isso mostra que a fórmula também é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução finita, provamos que
é válida para todo
.
Exercícios relacionados
Mostre que um polinômio
é uma função uniformemente contínua se, e somente se,
tem grau 0 ou 1.
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que
é uma função linear, isto é, existe
tal que
, para todo
.
Dica: Defina , mostre que
para todo
racional e conclua o resultado usando a continuidade de
e a densidade dos racionais na reta.
Dica: Defina
Demonstre por indução finita que
, o número
é divisivel por 7 .
Prove que se subtrairmos dois números ímpares, o resultado é sempre um número par.