Prove por indução finita que 1 + q + q^2 + ... + q^n = (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Passo 1

Vamos provar, usando indução finita, que a soma da sequência é igual a . Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicá-la a sequências geométricas.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para .
Quando , a soma é apenas . Vamos ver o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais a , a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum . Ou seja, assumimos que:

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a fórmula funciona para , ela também funciona para .
Vamos considerar a soma para :
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :
Agora, vamos simplificar:
Isso mostra que a fórmula também é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução finita, provamos que é válida para todo .

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