Mostre que um polinômio é uma função uniformemente contínua se, e somente se, tem grau 0 ou 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que um polinômio é uma função uniformemente contínua se, e somente se, ele tiver grau 0 ou 1. Vamos trabalhar com conceitos de continuidade uniforme e características dos polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função uniformemente contínua. Uma função é uniformemente contínua se, para qualquer , existe um tal que, para todos os no domínio, se , então . Diferente da continuidade normal, aqui o não depende do ponto específico no domínio.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os polinômios. Um polinômio de grau tem a forma . Queremos ver para quais valores de essa função é uniformemente contínua.

Passo 4

Vamos começar verificando o caso de grau 0 e 1.
  • Grau 0: . Essa é uma função constante. Para qualquer , basta escolher qualquer , já que . Então, funções constantes são uniformemente contínuas.
  • Grau 1: . Essa é uma função linear. A derivada é constante ( ), o que implica que a função é Lipschitz contínua e, portanto, uniformemente contínua.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece se o polinômio tiver grau maior ou igual a 2.
Considere com . Para grandes valores de , cresce sem limites (se ).
Vamos escolher . Precisa existir um tal que, se , então . Mas, para e muito grandes, mesmo com , a diferença pode ser muito grande devido ao termo de maior grau. Isso viola a condição de continuidade uniforme.

Passo 6

Portanto, só para polinômios de grau 0 ou 1, conseguimos garantir que a função seja uniformemente contínua. Para graus maiores, a função não é uniformemente contínua porque a diferença pode crescer além de qualquer bound para e grandes, mesmo mantendo pequeno.

Resposta

Um polinômio é uniformemente contínua se, e somente se, ele for de grau 0 ou 1.

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Seja uma função contínua com a seguinte propriedade:
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Seja uma função contínua no intervalo . Suponhamos que existem e tais que . Mostre que existe tal que para todo tal que .
Prove por indução finita que
Demonstre por indução finita que , o número é divisivel por 7 .