Mostre que um polinômio
é uma função uniformemente contínua se, e somente se,
tem grau 0 ou 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que um polinômio
é uma função uniformemente contínua se, e somente se, ele tiver grau 0 ou 1. Vamos trabalhar com conceitos de continuidade uniforme e características dos polinômios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função uniformemente contínua. Uma função
é uniformemente contínua se, para qualquer
, existe um
tal que, para todos os
no domínio, se
, então
. Diferente da continuidade normal, aqui o
não depende do ponto específico no domínio.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os polinômios. Um polinômio de grau
tem a forma
. Queremos ver para quais valores de
essa função é uniformemente contínua.
Passo 4
Vamos começar verificando o caso de grau 0 e 1.
-
Grau 0:
. Essa é uma função constante. Para qualquer , basta escolher qualquer , já que . Então, funções constantes são uniformemente contínuas. -
Grau 1:
. Essa é uma função linear. A derivada é constante ( ), o que implica que a função é Lipschitz contínua e, portanto, uniformemente contínua.
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece se o polinômio tiver grau maior ou igual a 2.
Considere
com
. Para grandes valores de
,
cresce sem limites (se
).
Vamos escolher
. Precisa existir um
tal que, se
, então
. Mas, para
e
muito grandes, mesmo com
, a diferença
pode ser muito grande devido ao termo de maior grau. Isso viola a condição de continuidade uniforme.
Passo 6
Portanto, só para polinômios de grau 0 ou 1, conseguimos garantir que a função seja uniformemente contínua. Para graus maiores, a função não é uniformemente contínua porque a diferença
pode crescer além de qualquer bound para
e
grandes, mesmo mantendo
pequeno.
Resposta
Um polinômio
é uniformemente contínua se, e somente se, ele for de grau 0 ou 1.
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua com a seguinte propriedade:
Mostre que
é uma função linear, isto é, existe
tal que
, para todo
.
Dica: Defina , mostre que
para todo
racional e conclua o resultado usando a continuidade de
e a densidade dos racionais na reta.
Dica: Defina
Seja
uma função contínua no intervalo
. Suponhamos que existem
e
tais que
. Mostre que existe
tal que
para todo
tal que
.
Prove por indução finita que
Demonstre por indução finita que
, o número
é divisivel por 7 .