Demonstre por indução finita que ∀ n ∈ N, o número 3^(2n+1) + 2^(n+2) é divisível por 7 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar, usando indução finita, que para todo número natural , o número é divisível por 7. Isso envolve entender o que é prova por indução, como trabalhar com potências e verificar divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, para .
Quando :
Como 7 é claramente divisível por 7, a base da indução está certa!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação funciona para algum natural. Ou seja, vamos supor que:
éí
Isso é a nossa hipótese de indução. Queremos usar isso para provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Vamos analisar para :
Podemos reescrever como e como . Assim:
Sabemos pela hipótese de indução que é múltiplo de 7. Vamos chamar esse número de onde é um inteiro.
Mas isso pode ficar mais claro se a gente fatorar:
Portanto, também é divisível por 7.

Passo 5

Como mostramos que a base da indução é verdadeira e que se vale para então também vale para , pela princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo número natural .

Resposta

Portanto, para todo , o número é divisível por 7.

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