Demonstre por indução finita que
, o número
é divisível por 7 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar, usando indução finita, que para todo número natural
, o número
é divisível por 7. Isso envolve entender o que é prova por indução, como trabalhar com potências e verificar divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, para
.
Quando
:
Como 7 é claramente divisível por 7, a base da indução está certa!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação funciona para algum
natural. Ou seja, vamos supor que:
Isso é a nossa hipótese de indução. Queremos usar isso para provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Vamos analisar para
:
Podemos reescrever
como
e
como
. Assim:
Sabemos pela hipótese de indução que
é múltiplo de 7. Vamos chamar esse número de
onde
é um inteiro.
Mas isso pode ficar mais claro se a gente fatorar:
Portanto,
também é divisível por 7.
Passo 5
Como mostramos que a base da indução é verdadeira e que se vale para
então também vale para
, pela princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo número natural
.
Resposta
Portanto, para todo
, o número
é divisível por 7.