(5) Demonstre matematicamente a expressão da resposta completa de um circuito RC e depois de um circuito RL.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar matematicamente a expressão da resposta completa de dois tipos de circuitos: RC (resistor e capacitor) e RL (resistor e indutor). Isso faz parte do estudo de circuitos elétricos de corrente contínua e envolve conceitos de diferenciais para modelar como a corrente e a tensão variam com o tempo nesses circuitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a resposta completa de um circuito. Ela é a solução geral da equação diferencial que descreve o circuito e inclui duas partes:
  1. Resposta livre ou homogênea: relacionada ao comportamento natural do circuito sem nenhuma fonte externa.
  2. Resposta forçada ou particular: relacionada à resposta do circuito devido a uma fonte externa aplicada.
Vamos começar com o circuito RC.

Passo 3

Circuito RC

Imagine um circuito com um resistor e um capacitor ligados em série a uma fonte de tensão . Queremos encontrar a tensão ou a corrente no circuito ao longo do tempo.
A equação diferencial que descreve esse circuito vem da Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das tensões em um circuito fechado é zero:
Sabemos que:
Para facilitar, derivamos ambos os lados para eliminar a integral:
Assumindo que é uma fonte constante após , a equação fica homogênea:
Podemos reescrever como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 4

Para resolver essa equação, usamos o método de equação diferencial linear homogênea. A solução geral é da forma:
Onde:
  • é a solução da equação homogênea.
  • é a solução particular.
Como a equação é homogênea, a solução completa será apenas a resposta livre.
A equação característica associada é:
Então, a solução homogênea é:
Onde é a corrente inicial no instante .

Passo 5

Portanto, a resposta completa do circuito RC é:
Isso significa que a corrente decai exponencialmente com uma constante de tempo .
Agora, vamos para o circuito RL.

Passo 6

Circuito RL

Agora, considere um circuito com um resistor e um indutor ligados em série a uma fonte de tensão . Queremos encontrar a corrente no circuito ao longo do tempo.
Aplicando novamente a Lei de Kirchhoff das Tensões:
Sabemos que:
Então, a equação diferencial fica:
Assumindo que é uma fonte constante após , a equação se torna:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo não homogêneo (a constante ). Vamos resolvê-la encontrando a solução geral.
A equação característica para a parte homogênea é:
Dividindo por :
A solução homogênea é:
Agora, encontramos uma solução particular . Como o termo não homogêneo é uma constante, tentamos uma solução constante .
Substituindo na equação:
Resolvendo para :

Passo 8

Portanto, a solução geral é:
Isso descreve como a corrente no circuito RL evolui ao longo do tempo, começando com e se estabelecendo em .

Resposta

A expressão da resposta completa é:
  • Para o circuito RC:
  • Para o circuito RL:

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