Demonstre matematicamente que o fluxo na fronteira z=0 é realmente nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar matematicamente que o fluxo na fronteira é realmente nulo. Isso tá relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente ao que envolve fluxo através de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo, como calcular o fluxo através de uma superfície e aplicar isso na fronteira .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. Em termos simples, fluxo é uma medida de quanto de uma grandeza (como um campo de velocidade ou campo elétrico) passa através de uma superfície. Matematicamente, o fluxo Phi = integral duplaS F cdot n , dS através de uma superfície é dado pela integral de superfície do produto escalar do vetor campo com o vetor normal à superfície :

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na fronteira n = k = (0, 0, 1) . Imagine que essa fronteira é uma superfície plana onde é constante e igual a zero. O vetor normal a essa superfície, , aponta na direção , então podemos escrever:
onde é o vetor unitário na direção .

Passo 4

Para mostrar que o fluxo é nulo, precisamos calcular o produto escalar F cdot n = Fx cdot 0 + Fy cdot 0 + Fz cdot 1 = Fz e integrar sobre a superfície. Supondo que o campo Phi = integral duplaS Fz , dS na fronteira tenha componentes e , temos:
Então, o fluxo fica:
Para que , precisamos que em toda a superfície . Isso significa que não há componente do campo na direção passando pela fronteira.

Passo 5

Se Phi = integral duplaS 0 , dS = 0 na fronteira , então:
Portanto, o fluxo através da superfície é nulo.

Resposta

O fluxo na fronteira é realmente nulo, ou seja, .

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