Demonstre matematicamente que o fluxo na fronteira
é realmente nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar matematicamente que o fluxo na fronteira
é realmente nulo. Isso tá relacionado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente ao que envolve fluxo através de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo, como calcular o fluxo através de uma superfície e aplicar isso na fronteira
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. Em termos simples, fluxo é uma medida de quanto de uma grandeza (como um campo de velocidade ou campo elétrico) passa através de uma superfície. Matematicamente, o fluxo
através de uma superfície
é dado pela integral de superfície do produto escalar do vetor campo
com o vetor normal à superfície
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na fronteira
. Imagine que essa fronteira é uma superfície plana onde
é constante e igual a zero. O vetor normal a essa superfície,
, aponta na direção
, então podemos escrever:
onde
é o vetor unitário na direção
.
Passo 4
Para mostrar que o fluxo é nulo, precisamos calcular o produto escalar
e integrar sobre a superfície. Supondo que o campo
na fronteira
tenha componentes
e
, temos:
Então, o fluxo fica:
Para que
, precisamos que
em toda a superfície
. Isso significa que não há componente do campo na direção
passando pela fronteira.
Passo 5
Se
na fronteira
, então:
Portanto, o fluxo através da superfície
é nulo.
Resposta
O fluxo na fronteira
é realmente nulo, ou seja,
.
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Calcule