Demonstre que, para uma matriz
invertível, as operações de transposição e inversão comutam, ou seja,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
que é invertível, ou seja, existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. A questão quer que a gente mostre que transpor a matriz e depois inverter dá o mesmo resultado que inverter a matriz e depois transpor, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de matriz transposta e matriz inversa, além de como elas interagem.
Passo 2
Vamos relembrar o que é a matriz transposta. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Por exemplo, se:
Então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. A matriz inversa de
, denotada por
, é aquela que satisfaz:
Onde
é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.
Passo 4
Sabemos que a transposição de matrizes preserva a multiplicação na seguinte forma:
Isso significa que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas, mas na ordem inversa.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa propriedade para mostrar que
.
Começamos multiplicando
pela sua inversa:
Transpondo ambos os lados da igualdade:
Sabemos que a transposta da identidade é a própria identidade:
Passo 6
Aplicando a propriedade da transposição do produto:
Então temos:
Passo 7
Isso mostra que
é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na identidade. Portanto, por definição de matriz inversa:
Resposta
Demonstramos que
para uma matriz invertível
.