Demonstre que, para uma matriz invertível, as operações de transposição e inversão comutam, ou seja,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é invertível, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A questão quer que a gente mostre que transpor a matriz e depois inverter dá o mesmo resultado que inverter a matriz e depois transpor, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de matriz transposta e matriz inversa, além de como elas interagem.
Passo 2
Vamos relembrar o que é a matriz transposta. A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Por exemplo, se:
Então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. A matriz inversa de , denotada por , é aquela que satisfaz:
Onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.
Passo 4
Sabemos que a transposição de matrizes preserva a multiplicação na seguinte forma:
Isso significa que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas, mas na ordem inversa.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa propriedade para mostrar que .
Começamos multiplicando pela sua inversa:
Transpondo ambos os lados da igualdade:
Sabemos que a transposta da identidade é a própria identidade:
Passo 6
Aplicando a propriedade da transposição do produto:
Então temos:
Passo 7
Isso mostra que é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade. Portanto, por definição de matriz inversa: