Demonstre que, para uma matriz A invertível, as operações de transposição e inversão comutam, ou seja,
(A^T)^-1=(A^-1)^T

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz (A^T)^-1 = (A^-1)^T que é invertível, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A questão quer que a gente mostre que transpor a matriz e depois inverter dá o mesmo resultado que inverter a matriz e depois transpor, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de matriz transposta e matriz inversa, além de como elas interagem.

Passo 2

Vamos relembrar o que é a matriz transposta. A transposta de uma matriz A = a & b c & d , denotada por A^T = a & c b & d , é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Por exemplo, se:
Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. A matriz inversa de A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I , denotada por , é aquela que satisfaz:
Onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.

Passo 4

Sabemos que a transposição de matrizes preserva a multiplicação na seguinte forma:
(A cdot B)^T = B^T cdot A^T
Isso significa que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas, mas na ordem inversa.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa propriedade para mostrar que A cdot A^-1 = I .
Começamos multiplicando (A cdot A^-1)^T = I^T pela sua inversa:
(A cdot A^-1)^T = I
Transpondo ambos os lados da igualdade:
Sabemos que a transposta da identidade é a própria identidade:

Passo 6

Aplicando a propriedade da transposição do produto:
(A cdot A^-1)^T = (A^-1)^T cdot A^T
Então temos:
(A^-1)^T cdot A^T = I

Passo 7

Isso mostra que (A^T)^-1 = (A^-1)^T é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade. Portanto, por definição de matriz inversa:

Resposta

Demonstramos que para uma matriz invertível .

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