Demonstre que se as matrizes inversíveis
e
são comutativas, então também são comutativas
a)
e
;
b)
e
;
c)
e
;
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes inversíveis,
e
, que comutam entre si, ou seja,
. Queremos demonstrar que as inversas dessas matrizes também comutam nas seguintes combinações:
a)
e
;
b)
e
;
c)
e
.
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades das matrizes inversas e a propriedade de comutatividade das matrizes
e
.
Passo 2
a) Demonstrar que
e
comutam
Sabemos que
. Queremos provar que
.
-
Multiplicamos ambos os lados da igualdade
pela inversa de , ou seja, : -
Simplificamos o lado esquerdo usando
(matriz identidade): -
Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
novamente:
Assim, mostramos que
e
comutam.
Passo 3
b) Demonstrar que
e
comutam
Novamente, começamos com
.
-
Multiplicamos ambos os lados pela inversa de
, : -
Simplificamos usando
: -
Multiplicamos ambos os lados pela inversa de
à esquerda: -
Simplificamos usando
:
Assim, mostramos que
e
comutam.
Passo 4
c) Demonstrar que
e
comutam
Sabemos que
.
-
Tomamos as inversas de ambos os lados da igualdade:
-
Usamos a propriedade
:
Assim, mostramos que
e
comutam.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
a)
e
comutam;
b)
e
comutam;
c)
e
comutam.
Exercícios relacionados
Prove que: ii)
Sejam
e
e
Algum desses subconjuntos é subespaço de V?
Determine uma base e a dimensão do subespaço de
formado por todas as matrizes diagonais.
Seja
uma matriz quadrada de ordem
, chamamos de traço da matriz
o número
Sejam
matrizes de ordem
e sejam
escalares, prove que