Demonstre que se as matrizes inversíveis e são comutativas, então também são comutativas
a) e ;
b) e ;
c) e ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes inversíveis, e , que comutam entre si, ou seja, . Queremos demonstrar que as inversas dessas matrizes também comutam nas seguintes combinações:
a) e ;
b) e ;
c) e .
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades das matrizes inversas e a propriedade de comutatividade das matrizes e .

Passo 2

a) Demonstrar que e comutam
Sabemos que . Queremos provar que .
  1. Multiplicamos ambos os lados da igualdade pela inversa de , ou seja, :
  2. Simplificamos o lado esquerdo usando (matriz identidade):
  3. Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de novamente:
Assim, mostramos que e comutam.

Passo 3

b) Demonstrar que e comutam
Novamente, começamos com .
  1. Multiplicamos ambos os lados pela inversa de , :
  2. Simplificamos usando :
  3. Multiplicamos ambos os lados pela inversa de à esquerda:
  4. Simplificamos usando :
Assim, mostramos que e comutam.

Passo 4

c) Demonstrar que e comutam
Sabemos que .
  1. Tomamos as inversas de ambos os lados da igualdade:
  2. Usamos a propriedade :
Assim, mostramos que e comutam.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
a) e comutam;
b) e comutam;
c) e comutam.

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