Demonstre que se as matrizes inversíveis A e B são comutativas, então também são comutativas
a) A^-1 e B;
b) A e B^-1;
c) A^-1 e B^-1;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas matrizes inversíveis, e , que comutam entre si, ou seja, . Queremos demonstrar que as inversas dessas matrizes também comutam nas seguintes combinações:
a) e ;
b) e ;
c) e .
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades das matrizes inversas e a propriedade de comutatividade das matrizes e .

Passo 2

a) Demonstrar que A^-1AB = A^-1BA e IB = A^-1BA Rightarrow B = A^-1BA comutam
Sabemos que BA^-1 = A^-1B . Queremos provar que .
  1. Multiplicamos ambos os lados da igualdade pela inversa de , ou seja, :
  2. Simplificamos o lado esquerdo usando (matriz identidade):
  3. Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de novamente:
Assim, mostramos que e comutam.

Passo 3

b) Demonstrar que ABB^-1 = BAB^-1 e AI = BAB^-1 Rightarrow A = BAB^-1 comutam
Novamente, começamos com B^-1A = B^-1BAB^-1 .
  1. Multiplicamos ambos os lados pela inversa de B^-1A = AB^-1 , :
  2. Simplificamos usando :
  3. Multiplicamos ambos os lados pela inversa de à esquerda:
  4. Simplificamos usando :
Assim, mostramos que e comutam.

Passo 4

c) Demonstrar que (AB)^-1 = (BA)^-1 e B^-1A^-1 = A^-1B^-1 comutam
Sabemos que .
  1. Tomamos as inversas de ambos os lados da igualdade:
  2. Usamos a propriedade :
Assim, mostramos que e comutam.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
a) e comutam;
b) e comutam;
c) e comutam.

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