Seja A=[ai j]n times n uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de traço da matriz A o número
tr(A)=sumi=1^n ai i
Sejam A1, A2, ldots, Ar, r matrizes de ordem n e sejam lambda1, lambda2, ldots, lambdar, r escalares, prove que
tr(lambda1 A1+ldots+lambda Ar)=lambda1 tr(A1)+ldots+lambdar tr(Ar)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada tr(A) = sumi=1^n aii e definimos o traço dessa matriz como a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja:
tr(lambda1 A1+ldots+lambdar Ar) = lambda1 tr(A1)+ldots+lambdar tr(Ar)
A questão nos dá várias matrizes de ordem e uns números chamados escalares . O que precisamos provar é que o traço da combinação linear dessas matrizes multiplicadas pelos escalares é igual à combinação linear dos traços das matrizes individuais multiplicados pelos mesmos escalares. Basicamente, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas de matrizes e do traço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz é uma função linear. Isso significa que o traço da soma de matrizes é igual à soma dos traços das matrizes, e que o traço de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao escalar multiplicado pelo traço da matriz. Em fórmulas, isso fica assim:
  1. Linearidade na soma:
    tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  2. Linearidade na multiplicação por escalar:
    tr(lambda A) = lambda tr(A)
Essas propriedades vão nos ajudar a quebrar a expressão que queremos provar em partes menores que já sabemos como lidar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à expressão que queremos provar:
tr(lambda1 A1+ldots+lambdar Ar)
Primeiro, pela linearidade na soma, podemos separar o traço da soma em soma dos traços:
tr(lambda1 A1+ldots+lambdar Ar) = tr(lambda1 A1) + ldots + tr(lambdar Ar)

Passo 4

Agora, aplicamos a linearidade na multiplicação por escalar para cada termo:
tr(lambdak Ak) = lambdak tr(Ak) para cada k = 1, 2, ldots, r
Portanto, substituindo na expressão anterior:
tr(lambda1 A1+ldots+lambdar Ar) = lambda1 tr(A1) + ldots + lambdar tr(Ar)

Resposta

Demonstramos que:
tr(lambda1 A1+ldots+lambdar Ar) = lambda1 tr(A1)+ldots+lambdar tr(Ar)

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