Seja uma matriz quadrada de ordem , chamamos de traço da matriz o número
Sejam matrizes de ordem e sejam escalares, prove que

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada e definimos o traço dessa matriz como a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja:
A questão nos dá várias matrizes de ordem e uns números chamados escalares . O que precisamos provar é que o traço da combinação linear dessas matrizes multiplicadas pelos escalares é igual à combinação linear dos traços das matrizes individuais multiplicados pelos mesmos escalares. Basicamente, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas de matrizes e do traço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz é uma função linear. Isso significa que o traço da soma de matrizes é igual à soma dos traços das matrizes, e que o traço de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao escalar multiplicado pelo traço da matriz. Em fórmulas, isso fica assim:
  1. Linearidade na soma:
  2. Linearidade na multiplicação por escalar:
Essas propriedades vão nos ajudar a quebrar a expressão que queremos provar em partes menores que já sabemos como lidar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à expressão que queremos provar:
Primeiro, pela linearidade na soma, podemos separar o traço da soma em soma dos traços:

Passo 4

Agora, aplicamos a linearidade na multiplicação por escalar para cada termo:
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Resposta

Demonstramos que:

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Determine uma base e a dimensão do subespaço de formado por todas as matrizes diagonais.
Demonstre que se as matrizes inversíveis e são comutativas, então também são comutativas
a) e ;
b) e ;
c) e ;
Se e são matrizes de ordem e e são escalares, mostre que:
a)
b)
c)
d)
Escreva as matrizes e , definidas do seguinte modo: