Seja
uma matriz quadrada de ordem
, chamamos de traço da matriz
o número
Sejam
matrizes de ordem
e sejam
escalares, prove que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
e definimos o traço dessa matriz como a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja:
A questão nos dá várias matrizes
de ordem
e uns números chamados escalares
. O que precisamos provar é que o traço da combinação linear dessas matrizes multiplicadas pelos escalares é igual à combinação linear dos traços das matrizes individuais multiplicados pelos mesmos escalares. Basicamente, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas de matrizes e do traço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o traço de uma matriz é uma função linear. Isso significa que o traço da soma de matrizes é igual à soma dos traços das matrizes, e que o traço de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao escalar multiplicado pelo traço da matriz. Em fórmulas, isso fica assim:
-
Linearidade na soma:
-
Linearidade na multiplicação por escalar:
Essas propriedades vão nos ajudar a quebrar a expressão que queremos provar em partes menores que já sabemos como lidar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à expressão que queremos provar:
Primeiro, pela linearidade na soma, podemos separar o traço da soma em soma dos traços:
Passo 4
Agora, aplicamos a linearidade na multiplicação por escalar para cada termo:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Resposta
Demonstramos que:
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Determine uma base e a dimensão do subespaço de
formado por todas as matrizes diagonais.
Demonstre que se as matrizes inversíveis
e
são comutativas, então também são comutativas
a) e
;
b) e
;
c) e
;
a)
b)
c)
Se
e
são matrizes de ordem
e
e
são escalares, mostre que:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Escreva as matrizes
e
, definidas do seguinte modo: