Determine uma base e a dimensão do subespaço de M4(R) formado por todas as matrizes diagonais.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o problema pede. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço específico de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. O subespaço em questão é formado por todas as matrizes diagonais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base de um espaço vetorial e como determinar a dimensão desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo, uma matriz a11 & 0 & 0 & 0 0 & a22 & 0 & 0 0 & 0 & a33 & 0 0 & 0 & 0 & a44 diagonal tem a forma:
Aqui, apenas os elementos podem ser diferentes de zero.

Passo 3

Agora, para encontrar uma base desse subespaço, precisamos encontrar um conjunto de matrizes diagonais que sejam linearmente independentes e que gerem todas as matrizes diagonais. Cada matriz na base terá apenas um elemento diferente de zero na diagonal principal, correspondendo a uma posição específica.

Passo 4

Vamos construir essas matrizes base. Para cada posição na diagonal principal, criamos uma matriz que tem 1 nessa posição e 0 nas outras. Assim, teremos:
E11 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , E22 = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
E33 = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , E44 = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Essas quatro matrizes formam um conjunto que gera todas as matrizes diagonais, pois qualquer matriz diagonal pode ser escrita como uma combinação linear dessas.

Passo 5

Para confirmar que esse conjunto é uma base, precisamos verificar que as matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. De fato, se tivermos:
c1 E11 + c2 E22 + c3 E33 + c4 E44 = 0
Isso implica que , o que confirma a independência linear.

Passo 6

Agora, para encontrar a dimensão do subespaço, contamos o número de vetores (matrizes) na base. Como temos quatro matrizes , a dimensão é 4.

Resposta

Uma base do subespaço é formada pelas matrizes diagonais
E11, E22, E33, E44
e a dimensão desse subespaço é 4.

Exercícios relacionados