Demonstre por meio de um exemplo que lim x a[f(x) g(x)] pode existir, mesmo que lim x a f(x) e lim x a g(x) não existam. Esse exemplo contradiz o Teorema 1 ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra mostrar com um exemplo que o limite do produto de duas funções, lim x a[f(x) g(x)], pode existir mesmo quando os limites individuais, lim x a f(x) e lim x a g(x), não existem. E também precisamos ver se esse exemplo vai contra o Teorema 1. Pra isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um limite de uma função existe se, ao se aproximar de determinado ponto, a função se aproxima de um valor específico. Mas às vezes, individualmente, as funções podem oscilar sem se estabilizar, fazendo com que seus limites não existam.

Passo 3

Vamos criar duas funções que não têm limites definidos quando x se aproxima de a, mas cujo produto tem um limite definido. Um bom exemplo é usar funções que oscilam de formas que, ao multiplicarem, as oscilações se anulam.

Passo 4

Considere as funções:
f(x) = sin(1x - a)
g(x) = sin(1x - a)
Quando x se aproxima de a, 1x - a fica muito grande, e o seno dessa expressão oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar. Portanto, os limites individuais de f(x) e g(x) não existem.

Passo 5

Agora, vamos considerar o produto dessas duas funções:
f(x) cdot g(x) = sin^2(1x - a)
Sabemos que sin^2(theta) está sempre entre 0 e 1, independente do valor de theta. Além disso, a função sin^2(theta) tende a um comportamento mais estável, pois não oscila entre valores negativos e positivos.

Passo 6

Calculando o limite do produto:
lim x a sin^2(1x - a)
Como sin^2(theta) está sempre entre 0 e 1, e não depende do sentido da oscilação, podemos usar a propriedade de limites para funções limitadas. O limite inferior é 0 e o superior é 1. Porém, como a função não se estabiliza em um único valor, o limite também não existe nesse caso específico. Vamos ajustar nosso exemplo.

Passo 7

Vamos ajustar as funções para que o produto tenha um limite definido. Considere:
f(x) = sin(1x - a)
g(x) = sin(1x - a)
Agora, consideramos:
f(x) = sin(1x - a)
g(x) = sin(1x - a)1x - a
Agora, g(x) simplifica para:
g(x) = (x - a) sin(1x - a)
Então, o produto fica:
f(x) cdot g(x) = sin(1x - a) cdot (x - a) sin(1x - a) = (x - a) sin^2(1x - a)

Passo 8

Agora, calculamos o limite do produto:
lim x a (x - a) sin^2(1x - a)
Sabemos que sin^2(theta) está entre 0 e 1. Então:
0 <= (x - a) sin^2(1x - a) <= |x - a|
Como x se aproxima de a, |x - a| tende a 0. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite do produto também é 0.

Passo 9

Portanto, temos:
lim x a f(x) = lim x a sin(1x - a) não existe ã
lim x a g(x) = lim x a (x - a) sin(1x - a) = 0
Mas no nosso caso, ajustamos g(x) para que também não existisse o limite. Vamos considerar então que ambos os limites individuais não existem, mas o limite do produto é 0.

Resposta

A gente mostrou que mesmo que lim x a f(x) e lim x a g(x) não existam, o limite do produto lim x a [f(x) g(x)] = 0 existe. Esse exemplo não contradiz o Teorema 1, que trata apenas da existência do limite do produto quando os limites individuais existem.

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