Demonstre por meio de um exemplo que pode existir, mesmo que e não existam. Esse exemplo contradiz o Teorema 1 ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra mostrar com um exemplo que o limite do produto de duas funções, , pode existir mesmo quando os limites individuais, e , não existem. E também precisamos ver se esse exemplo vai contra o Teorema 1. Pra isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um limite de uma função existe se, ao se aproximar de determinado ponto, a função se aproxima de um valor específico. Mas às vezes, individualmente, as funções podem oscilar sem se estabilizar, fazendo com que seus limites não existam.

Passo 3

Vamos criar duas funções que não têm limites definidos quando se aproxima de , mas cujo produto tem um limite definido. Um bom exemplo é usar funções que oscilam de formas que, ao multiplicarem, as oscilações se anulam.

Passo 4

Considere as funções:
Quando se aproxima de , fica muito grande, e o seno dessa expressão oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar. Portanto, os limites individuais de e não existem.

Passo 5

Agora, vamos considerar o produto dessas duas funções:
Sabemos que está sempre entre 0 e 1, independente do valor de . Além disso, a função tende a um comportamento mais estável, pois não oscila entre valores negativos e positivos.

Passo 6

Calculando o limite do produto:
Como está sempre entre 0 e 1, e não depende do sentido da oscilação, podemos usar a propriedade de limites para funções limitadas. O limite inferior é 0 e o superior é 1. Porém, como a função não se estabiliza em um único valor, o limite também não existe nesse caso específico. Vamos ajustar nosso exemplo.

Passo 7

Vamos ajustar as funções para que o produto tenha um limite definido. Considere:
Agora, consideramos:
Agora, simplifica para:
Então, o produto fica:

Passo 8

Agora, calculamos o limite do produto:
Sabemos que está entre 0 e 1. Então:
Como se aproxima de , tende a 0. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite do produto também é 0.

Passo 9

Portanto, temos:
ã
Mas no nosso caso, ajustamos para que também não existisse o limite. Vamos considerar então que ambos os limites individuais não existem, mas o limite do produto é 0.

Resposta

A gente mostrou que mesmo que e não existam, o limite do produto existe. Esse exemplo não contradiz o Teorema 1, que trata apenas da existência do limite do produto quando os limites individuais existem.

Exercícios relacionados

Seja .
(g) Determine a equação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto .
Seja .
(e) Calcule e .
Despesas com Automóveis Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares (quatro cilindros) modelo 1992 revelou que o custo médio (prestações, combustível, seguro, manutenção e depreciação), medido em centavos por milha, é aproximado pela função
onde denota o número de milhas (em milhares) rodadas em 1 ano.
a. Qual é o custo médio ao dirigirmos um tal veículo por 5.000 milhas/ano? E por 10.000 milhas/ano? E por 15.000 milhas/ano? E por 20.000 milhas/ano? E por 25.000 milhas/ano?
Velocidade de uma Reação Química Algumas proteínas, conhecidas como enzimas, servem de catalisadores para reações químicas em seres vivos. Em 1913, Leonor Michaelis e L. M. Menten descobriram a seguinte fórmula, fornecendo a velocidade inicial (em mols por litro por segundo) na qual a reação se inicia, como função da quantidade de substrato (a substância sendo transformada, medida em mols por litro) presente.
onde e são constantes positivas. Calcule
e interprete o resultado.