Demonstre por meio de um exemplo que
pode existir, mesmo que
e
não existam. Esse exemplo contradiz o Teorema 1 ?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra mostrar com um exemplo que o limite do produto de duas funções,
, pode existir mesmo quando os limites individuais,
e
, não existem. E também precisamos ver se esse exemplo vai contra o Teorema 1. Pra isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um limite de uma função existe se, ao se aproximar de determinado ponto, a função se aproxima de um valor específico. Mas às vezes, individualmente, as funções podem oscilar sem se estabilizar, fazendo com que seus limites não existam.
Passo 3
Vamos criar duas funções que não têm limites definidos quando
se aproxima de
, mas cujo produto tem um limite definido. Um bom exemplo é usar funções que oscilam de formas que, ao multiplicarem, as oscilações se anulam.
Passo 4
Considere as funções:
Quando
se aproxima de
,
fica muito grande, e o seno dessa expressão oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar. Portanto, os limites individuais de
e
não existem.
Passo 5
Agora, vamos considerar o produto dessas duas funções:
Sabemos que
está sempre entre 0 e 1, independente do valor de
. Além disso, a função
tende a um comportamento mais estável, pois não oscila entre valores negativos e positivos.
Passo 6
Calculando o limite do produto:
Como
está sempre entre 0 e 1, e não depende do sentido da oscilação, podemos usar a propriedade de limites para funções limitadas. O limite inferior é 0 e o superior é 1. Porém, como a função não se estabiliza em um único valor, o limite também não existe nesse caso específico. Vamos ajustar nosso exemplo.
Passo 7
Vamos ajustar as funções para que o produto tenha um limite definido. Considere:
Agora, consideramos:
Agora,
simplifica para:
Então, o produto fica:
Passo 8
Agora, calculamos o limite do produto:
Sabemos que
está entre 0 e 1. Então:
Como
se aproxima de
,
tende a 0. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite do produto também é 0.
Passo 9
Portanto, temos:
Mas no nosso caso, ajustamos
para que também não existisse o limite. Vamos considerar então que ambos os limites individuais não existem, mas o limite do produto é 0.
Resposta
A gente mostrou que mesmo que
e
não existam, o limite do produto
existe. Esse exemplo não contradiz o Teorema 1, que trata apenas da existência do limite do produto quando os limites individuais existem.