Seja .
(g) Determine a equação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva que surge quando a superfície definida por intercepta o plano no ponto . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a curva de interseção entre o gráfico de e o plano . Para isso, substituímos por 2 na função :
Passo 3
Simplificando a equação:
Então, a curva de interseção é definida por:
Passo 4
Agora, para encontrar a reta tangente no ponto , vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Primeiro, reescrevemos como:
Calculamos a derivada :
No ponto :
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. Vamos usar um parâmetro :