Velocidade de uma Reação Química Algumas proteínas, conhecidas como enzimas, servem de catalisadores para reações químicas em seres vivos. Em 1913, Leonor Michaelis e L. M. Menten descobriram a seguinte fórmula, fornecendo a velocidade inicial
(em mols por litro por segundo) na qual a reação se inicia, como função da quantidade de substrato
(a substância sendo transformada, medida em mols por litro) presente.
onde
e
são constantes positivas. Calcule
e interprete o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fórmula que mostra como a velocidade inicial de uma reação química, chamada
, depende da quantidade de substrato
. A equação é:
Precisamos calcular o limite dessa expressão quando
vai para o infinito, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, onde a gente compara os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos na expressão:
- No numerador, temos
, que é um polinômio de grau 1 (porque a maior potência de é 1). - No denominador, temos
, que também é um polinômio de grau 1.
Quando os graus dos polinômios no numerador e no denominador são iguais, o limite quando
vai para o infinito será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso é uma regra que simplifica bastante a coisa!
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa expressão:
- O coeficiente do
no numerador é . - O coeficiente do
no denominador é (porque é o mesmo que ).
Então, o limite será:
Resposta
O limite é
. Isso significa que, quando a quantidade de substrato
fica muito grande, a velocidade inicial da reação química tende a se estabilizar em
mols por litro por segundo.
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Despesas com Automóveis Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares (quatro cilindros) modelo 1992 revelou que o custo médio (prestações, combustível, seguro, manutenção e depreciação), medido em centavos por milha, é aproximado pela função
onde
denota o número de milhas (em milhares) rodadas em 1 ano.
a. Qual é o custo médio ao dirigirmos um tal veículo por 5.000 milhas/ano? E por 10.000 milhas/ano? E por 15.000 milhas/ano? E por 20.000 milhas/ano? E por 25.000 milhas/ano?
a. Qual é o custo médio ao dirigirmos um tal veículo por 5.000 milhas/ano? E por 10.000 milhas/ano? E por 15.000 milhas/ano? E por 20.000 milhas/ano? E por 25.000 milhas/ano?
Demonstre por meio de um exemplo que
pode existir, mesmo que
e
não existam. Esse exemplo contradiz o Teorema 1 ?
a)
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)
Determine e esboce o gráfico da função
: