Velocidade de uma Reação Química Algumas proteínas, conhecidas como enzimas, servem de catalisadores para reações químicas em seres vivos. Em 1913, Leonor Michaelis e L. M. Menten descobriram a seguinte fórmula, fornecendo a velocidade inicial V (em mols por litro por segundo) na qual a reação se inicia, como função da quantidade de substrato x (a substância sendo transformada, medida em mols por litro) presente.
V=a xx+b
onde a e b são constantes positivas. Calcule
lim x infty a xx+b
e interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fórmula que mostra como a velocidade inicial de uma reação química, chamada V, depende da quantidade de substrato x. A equação é:
V = a xx + b
Precisamos calcular o limite dessa expressão quando x vai para o infinito, ou seja:
lim x infty a xx + b
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, onde a gente compara os graus dos polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos na expressão:
  • No numerador, temos a x, que é um polinômio de grau 1 (porque a maior potência de x é 1).
  • No denominador, temos x + b, que também é um polinômio de grau 1.
Quando os graus dos polinômios no numerador e no denominador são iguais, o limite quando x vai para o infinito será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso é uma regra que simplifica bastante a coisa!

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa expressão:
  • O coeficiente do x no numerador é a.
  • O coeficiente do x no denominador é 1 (porque x é o mesmo que 1x).
Então, o limite será:
lim x infty a xx + b = a1 = a

Resposta

O limite é a. Isso significa que, quando a quantidade de substrato x fica muito grande, a velocidade inicial da reação química tende a se estabilizar em V = a mols por litro por segundo.

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