Mostre que se A=(ll2 & 3 1 & 4), então A^2-6 A+5 I2=0. (matriz nula)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, para a matriz 2 & 3 1 & 4 , a expressão resulta na matriz nula. Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, e vamos precisar calcular , multiplicar por um número, e entender o que é a matriz identidade .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A cdot A = 2 & 3 1 & 4 cdot 2 & 3 1 & 4 , que significa multiplicar a matriz A^2 = 7 & 18 6 & 19 por ela mesma. A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas pela coluna correspondente.
Vamos fazer cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular 6A = 6 times 2 & 3 1 & 4 = 12 & 18 6 & 24 . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz por 6.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular I2 = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade 5I2 = 5 times 1 & 0 0 & 1 = 5 & 0 0 & 5 é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nos outros lugares.
Multiplicando por 5:

Passo 5

Agora que temos A^2 - 6A + 5I2 = 7 & 18 6 & 19 - 12 & 18 6 & 24 + 5 & 0 0 & 5 , A^2 - 6A + 5I2 = 0 & 0 0 & 0 e , vamos montar a expressão :
Vamos fazer as subtrações e adições elemento a elemento:
  • (1,1):
  • (1,2):
  • (2,1):
  • (2,2):
Então,

Resposta

Portanto, mostramos que A^2 - 6A + 5I2 = 0 & 0 0 & 0 é igual à matriz nula:

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