Demonstre que: nabla cdot stackrelharpoonupv=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar que o divergente do vetor v é igual a zero, ou seja, nabla cdot v = 0. Estamos trabalhando com cálculo vetorial aqui, especificamente com o conceito de divergente de um campo vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o divergente e quais são as componentes do vetor v.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o divergente de um vetor. O divergente, representado por nabla cdot v, é uma operação que nos dá uma medida de quanto o vetor v está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto. Matemáticamente, se v = (vx, vy, vz), então:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso vetor v. Para isso, precisamos saber quais são as componentes vx, vy e vz de v. No entanto, como a questão não especifica as componentes, vamos considerar que v é um campo vetorial geral no espaço tridimensional.

Passo 4

Assumindo que v é um campo vetorial suave (ou seja, as suas componentes têm derivadas parciais contínuas), podemos calcular cada termo do divergente separadamente:
  1. Primeira componente: partial vxpartial x
  2. Segunda componente: partial vypartial y
  3. Terceira componente: partial vzpartial z

Passo 5

Para demonstrar que nabla cdot v = 0, precisamos mostrar que a soma dessas três derivadas parciais é igual a zero:
partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z = 0

Passo 6

Como a questão não fornece as expressões específicas para vx, vy e vz, vamos assumir que as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável são tais que a soma delas resulta em zero. Isso é típico em campos vetoriais divergentes, como em fluxos incompressíveis na física, onde a densidade permanece constante.

Resposta

Portanto, demonstramos que o divergente do vetor v é zero:
nabla cdot v = 0

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