Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a derivada parcial de
em relação ao tempo (
) não é igual à derivada material de
(
). Estamos no campo de mecânica dos fluidos, especificamente trabalhando com derivadas que descrevem como uma quantidade muda no tempo e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender a diferença entre derivadas parciais e derivadas materiais e como elas são calculadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada tipo de derivada representa. A derivada parcial
mede como
muda com o tempo em um ponto fixo no espaço. Já a derivada material
acompanha uma partícula de fluido enquanto ela se desloca, ou seja, mede a taxa de variação de
para uma partícula que está se movendo com a velocidade do fluido.
Passo 3
Para expressar matematicamente a derivada material, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é o campo de velocidade do fluido, e
representa o gradiente espacial de
. O termo
leva em conta como
varia no espaço conforme a partícula de fluido se move.
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Podemos ver claramente que a derivada material inclui um termo adicional
. Isso significa que, a menos que
, as duas derivadas não serão iguais.
Passo 5
Para finalizar, a igualdade
só ocorre se o termo
for zero, o que acontece em situações específicas, como em fluxos estacionários onde
não varia no espaço ou a velocidade do fluido é nula. Porém, de forma geral, isso não acontece, portanto: