Demonstre que: partial rhoApartial t neq D rhoAD t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a derivada parcial de rhoA em relação ao tempo ( partial rhoApartial t) não é igual à derivada material de rhoA ( D rhoAD t). Estamos no campo de mecânica dos fluidos, especificamente trabalhando com derivadas que descrevem como uma quantidade muda no tempo e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender a diferença entre derivadas parciais e derivadas materiais e como elas são calculadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada tipo de derivada representa. A derivada parcial partial rhoApartial t mede como rhoA muda com o tempo em um ponto fixo no espaço. Já a derivada material D rhoAD t acompanha uma partícula de fluido enquanto ela se desloca, ou seja, mede a taxa de variação de rhoA para uma partícula que está se movendo com a velocidade do fluido.

Passo 3

Para expressar matematicamente a derivada material, usamos a seguinte fórmula:
D rhoAD t = partial rhoApartial t + v cdot nabla rhoA
Aqui, v é o campo de velocidade do fluido, e nabla rhoA representa o gradiente espacial de rhoA. O termo v cdot nabla rhoA leva em conta como rhoA varia no espaço conforme a partícula de fluido se move.

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
partial rhoApartial t e D rhoAD t = partial rhoApartial t + v cdot nabla rhoA
Podemos ver claramente que a derivada material inclui um termo adicional v cdot nabla rhoA. Isso significa que, a menos que v cdot nabla rhoA = 0, as duas derivadas não serão iguais.

Passo 5

Para finalizar, a igualdade partial rhoApartial t = D rhoAD t só ocorre se o termo v cdot nabla rhoA for zero, o que acontece em situações específicas, como em fluxos estacionários onde rhoA não varia no espaço ou a velocidade do fluido é nula. Porém, de forma geral, isso não acontece, portanto:

Resposta

partial rhoApartial t neq D rhoAD t

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