Demonstre:
onde
e o potencial elétrico e
é o potencial vetor magnético.
(2,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma relação importante na eletrodinâmica que liga o campo elétrico
aos potenciais elétrico
e magnético
. A matéria envolvida aqui é a teoria dos potenciais eletromagnéticos, que é fundamental para entender como os campos elétrico e magnético se relacionam. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses potenciais e como eles se conectam com os campos elétrico e magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os campos elétrico
e magnético
podem ser expressos em termos dos potenciais
e
. Essa abordagem facilita resolver problemas complexos de eletromagnetismo. As relações são dadas por:
Aqui,
representa o rotacional do potencial vetor, e
é o gradiente do potencial escalar.
Passo 3
Para demonstrar a equação pedida, precisamos focar na expressão do campo elétrico
. A ideia é mostrar como
está relacionado tanto ao gradiente do potencial elétrico quanto à variação temporal do potencial vetor magnético.
Passo 4
Vamos começar lembrando que o campo elétrico pode ser derivado do potencial elétrico
quando não há variação temporal do potencial vetor
. Nesse caso, a relação simplifica para:
Isso significa que o campo elétrico aponta na direção de maior decréscimo do potencial elétrico.
Passo 5
No entanto, quando o potencial vetor
varia com o tempo, isso também contribui para o campo elétrico. A segunda parte da equação,
, representa essa contribuição adicional devido à variação temporal de
.
Passo 6
Juntando as duas contribuições, temos a expressão completa para o campo elétrico:
Essa equação mostra que o campo elétrico é resultado tanto da variação espacial do potencial elétrico quanto da variação temporal do potencial vetor magnético.
Resposta
Portanto, demonstramos que o campo elétrico
está dado por: