Demonstre:
onde e o potencial elétrico e é o potencial vetor magnético.

(2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma relação importante na eletrodinâmica que liga o campo elétrico aos potenciais elétrico e magnético . A matéria envolvida aqui é a teoria dos potenciais eletromagnéticos, que é fundamental para entender como os campos elétrico e magnético se relacionam. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses potenciais e como eles se conectam com os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os campos elétrico e magnético podem ser expressos em termos dos potenciais e . Essa abordagem facilita resolver problemas complexos de eletromagnetismo. As relações são dadas por:
Aqui, representa o rotacional do potencial vetor, e é o gradiente do potencial escalar.

Passo 3

Para demonstrar a equação pedida, precisamos focar na expressão do campo elétrico . A ideia é mostrar como está relacionado tanto ao gradiente do potencial elétrico quanto à variação temporal do potencial vetor magnético.

Passo 4

Vamos começar lembrando que o campo elétrico pode ser derivado do potencial elétrico quando não há variação temporal do potencial vetor . Nesse caso, a relação simplifica para:
Isso significa que o campo elétrico aponta na direção de maior decréscimo do potencial elétrico.

Passo 5

No entanto, quando o potencial vetor varia com o tempo, isso também contribui para o campo elétrico. A segunda parte da equação, , representa essa contribuição adicional devido à variação temporal de .

Passo 6

Juntando as duas contribuições, temos a expressão completa para o campo elétrico:
Essa equação mostra que o campo elétrico é resultado tanto da variação espacial do potencial elétrico quanto da variação temporal do potencial vetor magnético.

Resposta

Portanto, demonstramos que o campo elétrico está dado por:

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