Suponha que um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
está inicialmente em repouso a 30 cm da posição de equilíbrio da mola na posição horizontal, imerso num fluido de constante de fricção
. O bloco é solto em
s e passa a oscilar num movimento harmônico amortecido; Depois de 5 ciclos de oscilação, observa-se que a amplitude do movimento foi reduzida a
da amplitude inicial. (a) calcule qual a massa
do bloco? (1,0) (b) Que fração da energia inicial foi dissipada após estes 5 ciclos?
)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um bloco de massa desconhecida
preso a uma mola com constante elástica
. Inicialmente, o bloco está parado a 30 cm (
) da posição de equilíbrio e está imerso em um fluido que oferece resistência com constante de fricção
(que vamos converter para kg/s). Quando o bloco é solto, ele começa a oscilar de maneira harmônica amortecida. Após 5 ciclos de oscilação, a amplitude diminui para
da amplitude inicial. Precisamos:
a) Calcular a massa
do bloco.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico amortecido, onde a amplitude diminui exponencialmente com o tempo devido à fricção.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a constante de fricção para unidades do Sistema Internacional (kg/s):
Passo 3
No movimento harmônico amortecido, a amplitude
diminui de acordo com a fórmula:
onde:
-
é a amplitude inicial, -
é a taxa de amortecimento, -
é o tempo.
A taxa de amortecimento
está relacionada a
e
por:
Passo 4
Sabemos que, após 5 ciclos, a amplitude é reduzida para
da inicial:
Podemos simplificar:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 6
Sabemos que a frequência angular no movimento harmônico não amortecido é:
E a frequência
está relacionada a
por:
O período
é o inverso da frequência:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da
:
Mas também sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando
:
Substituindo de volta:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Finalmente, isolamos
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Calculando:
Primeiro, calculamos
.
Então:
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A massa do bloco é aproximadamente
.