Suponha que um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k=100 N / m está inicialmente em repouso a 30 cm da posição de equilíbrio da mola na posição horizontal, imerso num fluido de constante de fricção b=200 g / s. O bloco é solto em t=0 s e passa a oscilar num movimento harmônico amortecido; Depois de 5 ciclos de oscilação, observa-se que a amplitude do movimento foi reduzida a 1 / 5 da amplitude inicial. (a) calcule qual a massa m do bloco? (1,0) (b) Que fração da energia inicial foi dissipada após estes 5 ciclos? (0 , 5 )

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um bloco de massa desconhecida preso a uma mola com constante elástica . Inicialmente, o bloco está parado a 30 cm ( ) da posição de equilíbrio e está imerso em um fluido que oferece resistência com constante de fricção (que vamos converter para kg/s). Quando o bloco é solto, ele começa a oscilar de maneira harmônica amortecida. Após 5 ciclos de oscilação, a amplitude diminui para da amplitude inicial. Precisamos:
a) Calcular a massa do bloco.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico amortecido, onde a amplitude diminui exponencialmente com o tempo devido à fricção.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a constante de fricção para unidades do Sistema Internacional (kg/s):
b = 200 , g/s = 0,2 , kg/s

Passo 3

No movimento harmônico amortecido, a amplitude A(t) = A0 e^-gamma t diminui de acordo com a fórmula:
gamma = b2m
onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a taxa de amortecimento,
  • é o tempo.
A taxa de amortecimento está relacionada a e por:

Passo 4

Sabemos que, após 5 ciclos, a amplitude é reduzida para A(5T) = A05 = A0 e^-gamma cdot 5T da inicial:
15 = e^-gamma cdot 5T
Podemos simplificar:

Passo 5

Vamos resolver para ln(15) = -gamma cdot 5T :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
gamma = -ln(15)5T = ln(5)5T
Isso simplifica para:

Passo 6

Sabemos que a frequência angular no movimento harmônico não amortecido é:
omega0 = raizkm
E a frequência f = omega02pi = 12pi raizkm está relacionada a T = 1f = 2pi raizmk por:
O período é o inverso da frequência:

Passo 7

Agora, substituímos gamma = ln(5)5 cdot 2pi raizmk = ln(5)10pi raizkm na equação da gamma = b2m :
b2m = ln(5)10pi raizkm
Mas também sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Vamos resolver para b = 2m ln(5)10pi raizkm = m ln(5)5pi raizkm . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por raizkm = raizkraizm :
b = m ln(5)5pi cdot raizkraizm = ln(5)5pi raizk raizm
Simplificando 5pi b = ln(5) raizk raizm :
(5pi b)^2 = (ln(5))^2 k m
Substituindo de volta:
m = (5pi b)^2(ln(5))^2 k
Multiplicamos ambos os lados por :
Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Finalmente, isolamos :

Passo 9

Agora, substituímos os valores conhecidos:
b = 0,2 , kg/s, k = 100 , N/m
Calculando:
m = (5pi times 0,2)^2(ln(5))^2 times 100
Primeiro, calculamos m = pi^2(ln(5))^2 times 100 .
Então:
pi^2 approx 9,8696, ln(5) approx 1,6094
Calculando os valores numéricos:
m = 9,8696(1,6094)^2 times 100 = 9,86962,5903 times 100 = 9,8696259,03 approx 0,038 , kg

Resposta

A massa do bloco é aproximadamente .

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