Suponha que um bloco de massa preso a uma mola de constante elástica está inicialmente em repouso a 30 cm da posição de equilíbrio da mola na posição horizontal, imerso num fluido de constante de fricção . O bloco é solto em s e passa a oscilar num movimento harmônico amortecido; Depois de 5 ciclos de oscilação, observa-se que a amplitude do movimento foi reduzida a da amplitude inicial. (a) calcule qual a massa do bloco? (1,0) (b) Que fração da energia inicial foi dissipada após estes 5 ciclos? )

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um bloco de massa desconhecida preso a uma mola com constante elástica . Inicialmente, o bloco está parado a 30 cm ( ) da posição de equilíbrio e está imerso em um fluido que oferece resistência com constante de fricção (que vamos converter para kg/s). Quando o bloco é solto, ele começa a oscilar de maneira harmônica amortecida. Após 5 ciclos de oscilação, a amplitude diminui para da amplitude inicial. Precisamos:
a) Calcular a massa do bloco.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico amortecido, onde a amplitude diminui exponencialmente com o tempo devido à fricção.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a constante de fricção para unidades do Sistema Internacional (kg/s):

Passo 3

No movimento harmônico amortecido, a amplitude diminui de acordo com a fórmula:
onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a taxa de amortecimento,
  • é o tempo.
A taxa de amortecimento está relacionada a e por:

Passo 4

Sabemos que, após 5 ciclos, a amplitude é reduzida para da inicial:
Podemos simplificar:

Passo 5

Vamos resolver para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 6

Sabemos que a frequência angular no movimento harmônico não amortecido é:
E a frequência está relacionada a por:
O período é o inverso da frequência:

Passo 7

Agora, substituímos na equação da :
Mas também sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando :
Substituindo de volta:
Multiplicamos ambos os lados por :
Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Finalmente, isolamos :

Passo 9

Agora, substituímos os valores conhecidos:
Calculando:
Primeiro, calculamos .
Então:
Calculando os valores numéricos:

Resposta

A massa do bloco é aproximadamente .

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