Demonstre que
. (Sugestão: Use a Desigualdade Triangular com
e
.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que
. Esse problema está relacionado com o estudo das desigualdades, mais especificamente com a Desigualdade Triangular. Para resolver, vamos usar essa desigualdade aplicando as propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade Triangular. Ela afirma que para quaisquer números reais
e
,
Isso significa que o valor absoluto da soma de dois números é sempre menor ou igual à soma dos valores absolutos desses números.
Passo 3
No exercício, queremos demonstrar uma desigualdade que envolve
. Para isso, podemos reescrever
como
, ou seja,
. Assim, queremos mostrar que:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Desigualdade Triangular. Se considerarmos
e
, então:
De acordo com a Desigualdade Triangular:
Substituindo, temos:
Passo 5
Rearranjando a última expressão para isolar
, subtraímos
de ambos os lados:
Ou seja,
Resposta
Demonstramos que
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
, então
.
Resolva a inequação
Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto
se
Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto