Demonstre que . (Sugestão: Use a Desigualdade Triangular com e .)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que . Esse problema está relacionado com o estudo das desigualdades, mais especificamente com a Desigualdade Triangular. Para resolver, vamos usar essa desigualdade aplicando as propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade Triangular. Ela afirma que para quaisquer números reais e ,
Isso significa que o valor absoluto da soma de dois números é sempre menor ou igual à soma dos valores absolutos desses números.

Passo 3

No exercício, queremos demonstrar uma desigualdade que envolve . Para isso, podemos reescrever como , ou seja, . Assim, queremos mostrar que:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Desigualdade Triangular. Se considerarmos e , então:
De acordo com a Desigualdade Triangular:
Substituindo, temos:

Passo 5

Rearranjando a última expressão para isolar , subtraímos de ambos os lados:
Ou seja,

Resposta

Demonstramos que .

Exercícios relacionados

Mostre que se , então .
Resolva a inequação
Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto se
Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto