Demonstre que se p e q são primos então varphi(p q)=varphi(p) varphi(q).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números primos, p e q. Precisamos mostrar que a função de Euler varphi satisfaz a relação varphi(p q) = varphi(p) varphi(q) quando p e q são primos.
Vamos usar o conceito da função de Euler e algumas propriedades básicas de números primos para resolver isso.

Passo 2

A função de Euler varphi(n) conta o número de inteiros positivos menores ou iguais a n que são coprimos com n, ou seja, que não têm divisores comuns com n além de 1.
Para um número primo p, todos os números de 1 até p-1 são coprimos com p, já que p não tem divisores além de 1 e ele mesmo. Portanto, podemos calcular varphi(p).

Passo 3

Calculemos varphi(p) onde p é primo:
Como p é primo, os números de 1 até p-1 são todos coprimos com p. Assim:
varphi(p) = p - 1

Passo 4

Agora, consideremos o produto dos dois primos, p q. Queremos calcular varphi(p q).
Como p e q são primos distintos, eles são coprimos entre si, ou seja, gcd(p, q) = 1. Nesse caso, temos uma propriedade importante da função de Euler.

Passo 5

A propriedade que vamos usar é que se dois números a e b são coprimos, então a função de Euler é multiplicativa:
varphi(a b) = varphi(a) varphi(b)
Como p e q são primos distintos, eles são coprimos. Portanto:
varphi(p q) = varphi(p) varphi(q)
Isso demonstra a relação que queríamos provar.

Resposta

Portanto, se p e q são primos, então varphi(p q) = varphi(p) varphi(q).

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