Demonstre que se p e q são primos então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números primos,
e
. Precisamos mostrar que a função de Euler
satisfaz a relação
quando
e
são primos.
Vamos usar o conceito da função de Euler e algumas propriedades básicas de números primos para resolver isso.
Passo 2
A função de Euler
conta o número de inteiros positivos menores ou iguais a
que são coprimos com
, ou seja, que não têm divisores comuns com
além de 1.
Para um número primo
, todos os números de
até
são coprimos com
, já que
não tem divisores além de 1 e ele mesmo. Portanto, podemos calcular
.
Passo 3
Calculemos
onde
é primo:
Como
é primo, os números de
até
são todos coprimos com
. Assim:
Passo 4
Agora, consideremos o produto dos dois primos,
. Queremos calcular
.
Como
e
são primos distintos, eles são coprimos entre si, ou seja,
. Nesse caso, temos uma propriedade importante da função de Euler.
Passo 5
A propriedade que vamos usar é que se dois números
e
são coprimos, então a função de Euler é multiplicativa:
Como
e
são primos distintos, eles são coprimos. Portanto:
Isso demonstra a relação que queríamos provar.
Resposta
Portanto, se
e
são primos, então
.
Exercícios relacionados
Defina a Função Fi de Euler.
Seja
um grupo e
com
e
. Seja
, arbitrário, prove que:
i) ;
i)
Quantos e quais os geradores do grupo cíclico
?
Prove que se p é primo então o grupo
tem
geradores.