Seja
um grupo e
com
e
. Seja
, arbitrário, prove que:
i)
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um grupo
e um elemento
desse grupo que tem ordem
, onde
é igual a
. A gente precisa provar que a ordem de
é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a ordem de um elemento e propriedades de potências dentro de grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a ordem de um elemento. A ordem de
, denotada por
, é o menor número positivo
tal que
, onde
é o elemento neutro do grupo.
No nosso caso,
. Queremos descobrir
, ou seja, o menor número positivo
tal que
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando as propriedades das potências em grupos, temos:
Queremos que isso seja igual ao elemento neutro
:
Passo 4
Sabemos que
, então
. Portanto, para que
, o expoente
deve ser múltiplo de
, ou seja:
Substituindo
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(como
):
Passo 5
O menor valor positivo de
que satisfaz essa equação é
. Isso porque
deve ser pelo menos 1 para que
seja positivo, e estamos procurando o menor
possível.
Portanto,
.
Resposta
A ordem de
é igual a
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Construa as tábuas de operações dos grupos:
a)
a)
Seja (
um grupo abeliano. Prove que se
e
então
.
Defina a Função Fi de Euler.
Demonstre que se p e q são primos então
.