Seja (G, *) um grupo e a in G com |a|=n e n=r cdot s. Seja m in Z, arbitrário, prove que:
i) |a^r|=s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um grupo e um elemento desse grupo que tem ordem , onde é igual a . A gente precisa provar que a ordem de é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a ordem de um elemento e propriedades de potências dentro de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a ordem de um elemento. A ordem de , denotada por , é o menor número positivo tal que , onde é o elemento neutro do grupo.
No nosso caso, . Queremos descobrir , ou seja, o menor número positivo tal que .

Passo 3

Vamos calcular (a^r)^k = a^r cdot k . Usando as propriedades das potências em grupos, temos:
a^r cdot k = e
Queremos que isso seja igual ao elemento neutro :

Passo 4

Sabemos que r cdot k = m cdot n para algum inteiro m , então r cdot k = m cdot r cdot s . Portanto, para que k = m cdot s , o expoente deve ser múltiplo de , ou seja:
Substituindo :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (como ):

Passo 5

O menor valor positivo de que satisfaz essa equação é . Isso porque deve ser pelo menos 1 para que seja positivo, e estamos procurando o menor possível.
Portanto, .

Resposta

A ordem de é igual a , ou seja, .

Exercícios relacionados

Construa as tábuas de operações dos grupos:
a) (Z7,+)
Seja ( G, *) um grupo abeliano. Prove que se a, b in(G, *) e m in Z então (a * b)^m=a^m * b^m.
Defina a Função Fi de Euler.
Demonstre que se p e q são primos então varphi(p q)=varphi(p) varphi(q).