Demonstre que: Partindo do fato de que já se conheça a irracionalidade de , prove que é um número irracional. Formule uma generalização desse fato. Usando que é um número irracional prove que é número irracional. Generalize esse resultado.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a soma é um número irracional, partindo do fato de que também é irracional. Além disso, precisamos formular uma generalização desse fato e, usando a irracionalidade da soma, provar que também é irracional, seguindo uma generalização similar. Para isso, vamos utilizar conceitos de números racionais e irracionais, e propriedades das somas e produtos desses números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são números inteiros e . Os números e são conhecidos por serem irracionais.

Passo 3

Sabemos que é irracional. Vamos usar esse fato para provar que também é irracional. Suponha, para fins de contradição, que seja racional. Isso significa que podemos escrever:
onde e são inteiros e .

Passo 4

Vamos isolar :
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:
Simplificando:

Passo 6

Isolando o termo com :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, isolamos :
Isso implica que pode ser expresso como uma fração de inteiros, o que é uma contradição, já que é irracional.

Passo 8

Portanto, nossa suposição inicial de que é racional está errada. Logo, deve ser irracional.

Passo 9

Generalização: Se e são números inteiros positivos que não são quadrados perfeitos, e e são irracionais, então a soma também é irracional, desde que .

Passo 10

Agora, vamos provar que é irracional, usando o fato de que é irracional.
Suponha que seja racional, ou seja:
onde e são inteiros e .

Passo 11

Invertendo ambos os lados:
Isso implica que seria racional, o que já provamos ser irracional. Portanto, nossa suposição está errada.

Passo 12

Generalização: Se é um número irracional, então também é irracional.

Resposta

Assim, demonstramos que e são números irracionais, e formulamos generalizações para esses resultados.

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ãããàá
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Considere e . Encontre
.
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