Demonstre que: Partindo do fato de que já se conheça a irracionalidade de
, prove que
é um número irracional. Formule uma generalização desse fato. Usando que
é um número irracional prove que
é número irracional. Generalize esse resultado.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a soma
é um número irracional, partindo do fato de que
também é irracional. Além disso, precisamos formular uma generalização desse fato e, usando a irracionalidade da soma, provar que
também é irracional, seguindo uma generalização similar. Para isso, vamos utilizar conceitos de números racionais e irracionais, e propriedades das somas e produtos desses números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são números inteiros e
. Os números
e
são conhecidos por serem irracionais.
Passo 3
Sabemos que
é irracional. Vamos usar esse fato para provar que
também é irracional. Suponha, para fins de contradição, que
seja racional. Isso significa que podemos escrever:
onde
e
são inteiros e
.
Passo 4
Vamos isolar
:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Expandindo o lado direito da equação:
Simplificando:
Passo 6
Isolando o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Isso implica que
pode ser expresso como uma fração de inteiros, o que é uma contradição, já que
é irracional.
Passo 8
Portanto, nossa suposição inicial de que
é racional está errada. Logo,
deve ser irracional.
Passo 9
Generalização: Se
e
são números inteiros positivos que não são quadrados perfeitos, e
e
são irracionais, então a soma
também é irracional, desde que
.
Passo 10
Agora, vamos provar que
é irracional, usando o fato de que
é irracional.
Suponha que
seja racional, ou seja:
onde
e
são inteiros e
.
Passo 11
Invertendo ambos os lados:
Isso implica que
seria racional, o que já provamos ser irracional. Portanto, nossa suposição está errada.
Passo 12
Generalização: Se
é um número irracional, então
também é irracional.
Resposta
Assim, demonstramos que
e
são números irracionais, e formulamos generalizações para esses resultados.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja o conjunto dos veteranos de sua faculdade e
, o conjunto dos estudantes de matemática discreta de sua faculdade. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em termos de
e
.
Prove que: O quociente de um número racional não nulo por um outro irracional é um número irracional.
Considere
e
. Encontre
.
Determine as contrapositivas das seguintes sentenças. Empregue os mesmos modelos de apresentação para escrever cada contrapositiva. Se
for racional, então
é racional.