Demonstre que a permutação de duas linhas pode ser obtida por um número finito de operações elementares de outros tipos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que podemos trocar duas linhas de uma matriz usando um número finito de operações elementares que não sejam a própria troca de linhas. Isso envolve trabalhar com operações como multiplicar uma linha por um número diferente de 1 (escala) e adicionar múltiplos de uma linha a outra (adição). Vamos usar esses tipos de operações para conseguir trocar as duas linhas desejadas.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar quais são as operações elementares de linha que vamos utilizar:
  1. Multiplicação por um escalar: Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  2. Adição de múltiplos de uma linha a outra: Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Nosso objetivo é usar apenas essas duas operações para trocar duas linhas, digamos, a linha e a linha .

Passo 3

Vamos supor que temos duas linhas na matriz:
L1 = a & b & c
L2 = d & e & f
Queremos que, ao final das operações, passe a ser e passe a ser .

Passo 4

Primeiro, vamos transformar L1' = L1 times k = L2 para que ela fique igual a k = L2L1 = da = eb = fc . Para isso, podemos encontrar um escalar tal que:
Então,
Observação: Isso só é possível se . Se não for, precisamos de outra estratégia usando adição de múltiplos.

Passo 5

Caso os elementos não satisfaçam L1' = L1 + k times L2 , usaremos adições de múltiplos para projetar sobre .
Por exemplo, podemos definir:
Escolhendo de forma que se aproxime de . Repetimos esse processo até que .

Passo 6

Depois que L2' = L2 + m times L1 foi ajustada para igualar , precisamos ajustar para que ela fique igual a original. Para isso, usamos novamente operações de escala e adição:
Escolhemos de forma que se transforme na antiga .

Passo 7

Ao final dessas operações, teremos:
L1' = L2
L2' = L1
Portanto, conseguimos trocar as duas linhas usando apenas operações de escala e adição de múltiplos de linhas.

Resposta

Demonstramos que é possível trocar duas linhas de uma matriz utilizando um número finito de operações elementares de escala e adição de múltiplos de linhas. Seguindo os passos acima, conseguimos realizar a permutação desejada sem precisar usar a operação direta de troca de linhas.

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