Demonstre que a permutação de duas linhas pode ser obtida por um número finito de operações elementares de outros tipos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que podemos trocar duas linhas de uma matriz usando um número finito de operações elementares que não sejam a própria troca de linhas. Isso envolve trabalhar com operações como multiplicar uma linha por um número diferente de 1 (escala) e adicionar múltiplos de uma linha a outra (adição). Vamos usar esses tipos de operações para conseguir trocar as duas linhas desejadas.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar quais são as operações elementares de linha que vamos utilizar:
- Multiplicação por um escalar: Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
- Adição de múltiplos de uma linha a outra: Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Nosso objetivo é usar apenas essas duas operações para trocar duas linhas, digamos, a linha
e a linha
.
Passo 3
Vamos supor que temos duas linhas na matriz:
Queremos que, ao final das operações,
passe a ser
e
passe a ser
.
Passo 4
Primeiro, vamos transformar
para que ela fique igual a
. Para isso, podemos encontrar um escalar
tal que:
Então,
Observação: Isso só é possível se
. Se não for, precisamos de outra estratégia usando adição de múltiplos.
Passo 5
Caso os elementos não satisfaçam
, usaremos adições de múltiplos para projetar
sobre
.
Por exemplo, podemos definir:
Escolhendo
de forma que
se aproxime de
. Repetimos esse processo até que
.
Passo 6
Depois que
foi ajustada para igualar
, precisamos ajustar
para que ela fique igual a
original. Para isso, usamos novamente operações de escala e adição:
Escolhemos
de forma que
se transforme na antiga
.
Passo 7
Ao final dessas operações, teremos:
Portanto, conseguimos trocar as duas linhas usando apenas operações de escala e adição de múltiplos de linhas.
Resposta
Demonstramos que é possível trocar duas linhas de uma matriz utilizando um número finito de operações elementares de escala e adição de múltiplos de linhas. Seguindo os passos acima, conseguimos realizar a permutação desejada sem precisar usar a operação direta de troca de linhas.